Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z-3i|=5 và z/z-4 là số thuần ảo?

Question

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left|z-3i\right|=5\) và \(\frac{z}{z-4}\) là số thuần ảo?

A. 0.

B. Vô số.

C. 1.

D. 2 .

Answer 1

Chọn C

Đặt \(z=x+yi\left(x,y\in {\rm R}\right)\). Điều kiện \(z\ne 4\)
\(\left|z-3i\right|=5\Leftrightarrow \left|x+\left(y-3\right)i\right|=5\)

\(\Leftrightarrow x^{2} +\left(y-3\right)^{2} =25\Leftrightarrow x^{2} +y^{2} -6y=16\left(1\right)\)
Do \(\frac{z}{z-4} =\frac{x+yi}{\left(x-4\right)+yi} =\frac{x\left(x-4\right)+y^{2} }{\left(x-4\right)^{2} +y^{2} } -\frac{4y}{\left(x-4\right)^{2} +y^{2} } i\) 

là số thuần ảo nên phần thực

\(\frac{x\left(x-4\right)+y^{2} }{\left(x-4\right)^{2} +y^{2} } =0\Rightarrow x^{2} +y^{2} -4x=0\left(2\right)\)

Trừ vế với vế của \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) suy ra

\(4x-6y=16\Leftrightarrow x=4+\frac{3}{2} y\),

thay vào \(\left(1\right) \) ta được:
\(\left(4+\frac{3}{2} y\right)^{2} +y^{2} -6y-16=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{13}{4} y^{2} +6y=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {y=0} \\ {y=-\frac{24}{13} } \end{array}\right. \)
Với y=0 ta được x=4, suy ra z=4(loại).

Với \(y=-\frac{24}{13}\) ta được \(x=\frac{16}{13}\) và \(z=\frac{16}{13} -\frac{24}{13} i\) (thỏa mãn).

Vậy có một số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán là

\(z=\frac{16}{13} -\frac{24}{13} i.\)