Chọn A
Gọi I là trung điểm của OO'.
Ta có: \(IA=R,\, \, IO=\frac{h}{2} <R\).
Bán kính mặt đáy của hình trụ là: \( r=OA=\sqrt{R^{2} -\frac{h^{2} }{4} } .\)
Thể tích khối trụ là: \(V={\rm \pi .}\, r^{2} .h={\rm \pi }.h.\left(R^{2} -\frac{h^{2} }{4} \right)={\rm \pi }R^{2} h-\frac{{\rm \pi }}{4} h^{3} \)
Xét hàm số \(f\left(h\right)={\rm \pi }R^{2} h-\frac{{\rm \pi }}{4} h^{3}\) , với \(0<h<2R.\)
Có \(f'\left(h\right)={\rm \pi }R^{2} -\frac{3{\rm \pi }}{4} h^{2} ; f'\left(h\right)=0\Leftrightarrow h=\frac{2R}{\sqrt{3} } .\)
Bảng biến thiên:
Vậy thể tích khối trụ lớn nhất khi \(\Leftrightarrow h=\frac{2R\sqrt{3} }{3} .\)