Question

Một khối đá có hình là một khối cầu có bán kính 3a, người thợ thợ thủ công mỹ nghệ cần cắt và gọt viên đá đó thành một viên đá cảnh có hình dạng là một khối nón (tham khảo hình vẽ).Tính thể tích lớn nhất có thể của viên đá cảnh sau khi đã hoàn thiện.

\(A. 9\pi a^{3} . \)

\(B. 36\pi a^{3} . \)

\(C. 12\sqrt{2} \pi a^{3} . \)

\(D. \frac{32}{3} \pi a^{3} .\)

Answer 1

Chọn D

Giả sử rằng khối nón có đáy là hình tròn \(\left(C\right)\) bán kính r.

Gọi x với \(0\le x<3a\) là khoảng cách

giữa tâm khối cầu đến đáy khối nón. 

Khi đó chiều cao lớn nhất của khối nón

nội tiếp khối cầu với đáy là hình tròn \(\left(C\right) \) sẽ là 

\(h=3a+x\). Khi đó bán kính đáy nón là

\(r=\sqrt{9a^{2} -x^{2} } \).

Suy ra thể tích khối nón là 
\(V=\frac{1}{3} \pi r^{2} h=\frac{1}{3} \pi \left(3a+x\right)\left(9a^{2} -x^{2} \right)\)

\(=\frac{1}{3} \pi \left(3a+x\right)\left(3a+x\right)\left(3a-x\right)\)

\(=\frac{1}{6} \pi \left(3a+x\right)\left(3a+x\right)\left(6a-2x\right) \)
Áp dụng BĐT Cô-si ta có

\(V\le \frac{1}{6} \pi \frac{\left(3a+x+3a+x+6a-2x\right)^{3} }{27} =\frac{32}{3} \pi a^{3} .\)

Đẳng thức xảy ra khi \(3a+x=6a-2x\Leftrightarrow x=a.\)

Vậy thể tích lớn nhất của viên đá sau

khi hoàn thành là \(\frac{32}{3} \pi a^{3} .\)