Question

Một khối đá có hình là một khối cầu có bán kính 3a, người thợ thợ thủ công mỹ nghệ cần cắt và gọt viên đá đó thành một viên đá cảnh có hình dạng là một khối trụ. Tính thể tích lớn nhất có thể của viên đá cảnh sau khi đã hoàn thiện.

\(A.36\pi a^{3} \sqrt{3} . \)

\(B. 12\pi a^{3} \sqrt{3} .\)

\(C. 18\pi a^{3} \sqrt{3} . \)

\(D.\frac{27\pi a^{3} \sqrt{3} }{4} .\)

Answer 1

Chọn B 

Giả sử 2x là chiều cao hình trụ (0

Bán kính của khối trụ là \(r=\sqrt{9a^{2} -x^{2} } .\) 

Thể tích khối trụ là: \(V=\pi (9a^{2} -x^{2} )2x=\pi \left(18a^{2} x-2x^{3} \right).\) 

Xét hàm số \(f\left(x\right)=18a^{2} x-2x^{3} ,x\in \left(0,3a\right).\)

Ta có: \(f'\left(x\right)=18a^{2} -6x^{2} , f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{3} a. \)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, giá trị lớn nhất của hàm

\(f\left(x\right) trên \left(0,3a\right)= 12\sqrt{3} a^{3} .\)

Vậy thể tích lớn nhất của khối trụ sau hoàn thiện là

\(12\pi a^{3} \sqrt{3} . \)