Cho mặt cầu S(I;4) và một đường kính AB. Gọi J là điểm thuộc đoạn IB và J không trùng I và B. Gọi...

Question

Cho mặt cầu \(S\left(I\, ;\, 4\right)\) và một đường kính AB. Gọi J là điểm thuộc đoạn IB và J không trùng I và B. Gọi \(\left(P\right)\) là mặt phẳng vuông góc với AB tại J và cắt mặt cầu \(S\left(I\, ;\, 4\right)\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left(C\right)\). Thiết diện qua trục của hình nón đỉnh A và đáy là đường tròn \(\left(C\right)\) có diện tích bằng \(12\sqrt{3}\) . Tính diện tích xung quanh của hình nón đó. 

\(A. 24\pi . \)

\(B. 48\pi . \)

\(C. 8\sqrt{3} \pi . \)

\(D. 24\sqrt{3} \pi \)

Answer 1

Chọn A

Đặt x=IJ với 0

Hình nón có chiều cao bằng \(h=AI+IJ=4+x\)

và bán kính đáy \(r=\sqrt{4^{2} -x^{2} } =\sqrt{16-x^{2} } .\)

Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác cân tại A

có chiều cao bằng h và cạnh đáy bằng 2r,

do đó có diện tích bằng \(\frac{1}{2} .h.2r=\left(4+x\right)\sqrt{16-x^{2} } .\)

Ta có

\(\left(4+x\right)\sqrt{16-x^{2} } =12\sqrt{3} \Leftrightarrow \left(4+x\right)^{2} \left(16-x^{2} \right)=432\)

\(\Leftrightarrow x^{4} +8x^{3} -128x+176=0.\)
\(\Leftrightarrow \left(x-2\right)^{2} \left(x^{2} +12x+44\right)=0\Leftrightarrow x=2. \)
Hình nón có \(r=\sqrt{16-4} =2\sqrt{3} , h=6 \) nên \(l=\sqrt{r^{2} +h^{2} } =4\sqrt{3} .\)

Vậy diện tích xung quanh của hình nón là

\(S_{xq} =\pi rl=\pi .2\sqrt{3} .4\sqrt{3} =24\pi .\)