Chọn A
Cách 1 :
Gọi A, B là điểm biểu diễn z ,w
\(\widehat{AOB}=\varphi ; OA=a; OB=b \Rightarrow AB=4\)
Ta có:
\(\widehat{OAC}=180^{0} -\varphi \Rightarrow \cos \widehat{OAC}=-\cos \varphi \)
C là điểm biểu diễn \(z+2w \Rightarrow OC=10\)
Ta có :
\(\left\{\begin{array}{l} {a^{2} +b^{2} -2ab\cos \varphi =16} \\ {a^{2} +4b^{2} +4ab\cos \varphi =100} \end{array}\right. \Rightarrow 3a^{2} +6b^{2} =132\)
Ta có \(\left(a+\frac{1}{\sqrt{2} } .\sqrt{2} b\right)^{2} \le \left(1+\frac{1}{2} \right)\left(a^{2} +2b^{2} \right)\)
\(\Leftrightarrow \left(a+b\right)^{2} \le \frac{3}{2} .44=66 \Rightarrow a+b\le \sqrt{66} .\)
Dấu `'=`' xảy ra \(a=2b=\frac{2\sqrt{66} }{3} \)
Cách 2 :
Ta có \(\left|z+2w\right|=\left|8+6i\right|=10\)
\(\left|z+2w\right|^{2} +2\left|z-w\right|^{2} =3\left|z\right|^{2} +6\left|w\right|^{2} \)
\(\Leftrightarrow 10^{2} +2.4^{2} =3\left|z\right|^{2} +6\left|w\right|^{2} \Leftrightarrow \left|z\right|^{2} +2\left|w\right|^{2} =\frac{132}{3} \)
Mà
\(\left|z\right|+\left|w\right|=\left|z\right|+\frac{1}{\sqrt{2} } .\sqrt{2} \left|w\right|\le \sqrt{\left(1+\left(\frac{1}{\sqrt{2} } \right)^{2} \right)\left(\left|z\right|^{2} +2\left|w\right|^{2} \right)} \)
\(=\sqrt{\frac{3}{2} .\frac{132}{3} } =\sqrt{66} .\)