Cho phương trình m.2x2−4x−1+m2.22x2−8x−1=7log2(x2−4x+log2m)+3. Có mấy số nguyên dương m sao cho pt có nghiệm thực. ​

Question

Cho phương trình \(m.2^{x^{2} -4x-1} +m^{2} .2^{2x^{2} -8x-1} =7\log _{2} \left(x^{2} -4x+\log _{2} m\right)+3, \) (m là tham số) . Có bao nhiêu số nguyên dương m sao cho phương trình đã cho có nghiệm thực.

A. 31.

B. 63.

C. 32.

D. 64. 

Answer 1

Chọn D 

Điều kiện:\( x^{2} -4x+\log _{2} m>0\)
\(\begin{array}{l} {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} m.2^{x^{2} -4x-1} +m^{2} .2^{2x^{2} -8x-1} =7\log _{2} \left(x^{2} -4x+\log _{2} m\right)+3} \\ {\Leftrightarrow 2^{x^{2} -4x+\log _{2} m} +4^{x^{2} -4x+\log _{2} m} =14\log _{2} \left(x^{2} -4x+\log _{2} m\right)+6} \end{array}\)
Đặt \(x^{2} -4x+\log _{2} m=t,(t>0). \) Phương trình trở thành \(2^{t} +4^{t} =14\log _{2} t+6{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left(*\right)\)

 Xét hàm số \(f\left(t\right)=2^{t} +4^{t} -14\log _{2} t-6\) trên \(\left(0;+\infty \right)\)

Ta có \(f'\left(t\right)=2^{t} \ln 2+4^{t} \ln 4-\frac{14}{t\ln 2}   \[f''\left(t\right)=2^{t} \ln ^{2} 2+4^{t} \ln ^{2} 4+\frac{14}{t^{2} \ln 2} >0,\forall t\in \left(0;+\infty \right)\)

Suy ra hàm số \(f'\left(t\right)\) đồng biến trên \(\left(0;+\infty \right).\) Do đó phương trình \(f\left(t\right)=0 \) hay

phương trình \(    \left(*\right) \) có nhiều nhất 2 nghiệm

Ta thấy t=1,t=2 thỏa mãn\(\left(*\right)\). Do đó phương trình \({\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left(*\right)\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {t=1} \\ {t=2} \end{array}\right. \)
\({\kern 1pt} t=1\Rightarrow x^{2} -4x+\log _{2} m=1\Leftrightarrow x^{2} -4x-1+\log _{2} m=0{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left(1\right)\)
\({\kern 1pt} t=1\Rightarrow x^{2} -4x+\log _{2} m=2\Leftrightarrow x^{2} -4x-2+\log _{2} m=0{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left(2\right)\)
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) và (20 có nghiệm

\(\left(1\right)\) có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta '\ge 0\Leftrightarrow 4-\left(\log _{2} m-1\right)\ge 0\Leftrightarrow \log _{2} m\le 5\Leftrightarrow m\le 32.\)

(2) có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta '\ge 0\Leftrightarrow 4-\left(\log _{2} m-2\right)\ge 0\Leftrightarrow \log _{2} m\le 6\Leftrightarrow m\le 64.\)

Do đó phương trình đã cho có nghiệm\(\Leftrightarrow m\le 64\). kết hợp m nguyên dương. Vậy có 64 số