​Có bao nhiêu số nguyên m∈(−20;20) để phương trình 7x+m=6log7(6x−m) có nghiệm thực ​

Question

Có bao nhiêu số nguyên \(m\in \left(-20;20\right)\) để phương trình \(7^{x} +m=6\log _{7} \left(6x-m\right)\) có nghiệm thực

A. 19

B. 21

C. 18

D. 20
 

Answer 1

Chọn D

Đặt: \(t=\log _{7} \left(6x-m\right)\Leftrightarrow 6x-m=7^{t} \Leftrightarrow 6x-7^{t} =m.\) Khi đó phương trình trở thành \(7^{x} +\left(6x-7^{t} \right)=6t\Leftrightarrow 7^{x} +6x=7^{t} +6t\Leftrightarrow x=t\)

Khi đó ta có PT: \(6x-7^{x} =m. \)Xét hàm số \(f\left(x\right)=6x-7^{x} ;\; x\in {\rm R}\)

Có\( f'\left(x\right)=6-7^{x} \ln 7\Rightarrow f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=\log _{7} \frac{6}{\ln 7} =x_{0} .\) Ta có BBT

Từ BBT ta thấy PT có nghiệm
\(m\le y\left(x_{0} \right)=6\log _{7} \frac{6}{\ln 7} -7^{\log _{7} \frac{6}{\ln 7} } \approx 0,389;\)
Mà \(m\in \left(-20;20\right);m\in {\rm Z}\Rightarrow m\in \left\{-19;-18;...;0\right\}\)