Cho điểm E(2;1;3), mặt phẳng (P):2x+2y−z−3=0 và mặt cầu (S):(x−3)^2+(y−2)^2+(z−5)^2=36. ​

Question

Trong không gian Oxyz, cho điểm \(E\left(2;1;3\right)\), mặt phẳng \(\left(P\right):2x+2y-z-3=0\) và mặt cầu \(\left(S\right):\left(x-3\right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} +\left(z-5\right)^{2} =36. \) Gọi \(\Delta\) là đường thẳng đi qua E, nằm trong mặt phẳng (P) và cắt (S) tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của \(\Delta\)  là

\(A. \left\{\begin{array}{l} {x=2+9t} \\ {y=1+9t} \\ {z=3+8t} \end{array}\right. \)
\(B. \left\{\begin{array}{l} {x=2-5t} \\ {y=1+3t} \\ {z=3} \end{array}\right.  \)

\(C. \left\{\begin{array}{l} {x=2+t} \\ {y=1-t} \\ {z=3} \end{array}\right. \)

\(D. \left\{\begin{array}{l} {x=2+4t} \\ {y=1+3t.} \\ {z=3-3t} \end{array}\right.\)
 

Answer 1

Chọn C

Mặt cầu \(\left(S\right):\left(x-3\right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} +\left(z-5\right)^{2} =36, có tâm I\left(3;2;5\right)\) và bán kính R=6.

Ta có: \(\overrightarrow{EI}=\left(1;1;2\right)\Rightarrow EI=\left|\overrightarrow{EI}\right|=\sqrt{1^{2} +1^{2} +2^{2} } =\sqrt{6} <6=R.\) Do đó điểm E nằm trong mặt cầu (S)

Ta lại có: \(E\in \left(P\right) và \left\{\begin{array}{l} {E\in \Delta } \\ {\Delta \subset \left(P\right)} \end{array}\right.\) nên giao điểm của \(\left(\Delta \right) và \left(S\right)\) nằm trên đường tròn giao tuyến (C) tâm K của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S), trong đó K là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P)

Giả sử \(\Delta \cap \left(S\right)=\left\{A;B\right\}.\) Độ dài AB nhỏ nhất khi và chỉ khi \(d\left(K\, ,\, {\rm \Delta }\right) \)lớn nhất.

Gọi F là hình chiếu của K trên \(\left(\Delta \right) khi đó d\left(K;\Delta \right)=KF\le KE\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(F\equiv E\)

Ta có \(\left\{\begin{array}{l} {IK\bot \left(P\right)} \\ {KE\bot \Delta } \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {IK\bot \Delta } \\ {KE\bot \Delta } \end{array}\right. \Rightarrow IE\bot \Delta \)

Ta có: \(\left[\vec{n}_{\left(P\right)} \, ,\, \overrightarrow{EI}\right]=\left(5\, ;\, -5\, ;\, 0\right)$, cùng phương với $\vec{u}=\left(1\, ;\, -1\, ;\, 0\right)\)

Vì \(\left\{\begin{array}{l} {{\rm \Delta }\subset \left(P\right)} \\ {{\rm \Delta }\bot IE} \end{array}\right.  nên {\rm \Delta }\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec{u}=\left(1\, ;\, -1\, ;\, 0\right)\)

Suy ra phương trình đường thẳng \({\rm \Delta }:\left\{\begin{array}{l} {x=2+t} \\ {y=1-t} \\ {z=3} \end{array}\right. \)