Cho các điểm A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) với a≥4,b≥5,c≥6 và mặt cầu (S) có bán kính bằng ngoại tiếp tứ diện O.ABC. ​

Question

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm \(A\left(a;0;0\right),B\left(0;b;0\right),C\left(0;0;c\right)\) với \(a\ge 4,b\ge 5,c\ge 6\) và mặt cầu (S) có bán kính bằng \(\frac{3\sqrt{10} }{2}\) ngoại tiếp tứ diện O.ABC. Khi tổng OA+OB+OC đạt giá trị nhỏ nhất thì mặt phẳng \(\left(\alpha \right)\) đi qua tâm I của mặt cầu (S) và song song với mặt phẳng (OAB) có dạng \({\rm mx}+ny+pz+q=0 ( với {\rm m,n,p,q}\in {\bf {\rm Z}}{\rm ;}\frac{q}{p} \)là phân số tối giản). Giá trị \({\rm T\; =\; m\; +\; n\; +\; p\; +\; q}\) bằng

A. 3

B. 9

C. 5

D. -5
 

Answer 1

Chọn D

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABC là \(R=\frac{\sqrt{a^{2} +b^{2} +c^{2} } }{2} =\frac{3\sqrt{10} }{2} \Leftrightarrow a^{2} +b^{2} +c^{2} =90.\)

Ta có

\(P=OA+OB+OC=a+b+c. Đặt x=a-4\ge 0,y=b-5\ge 0,z=c-6\ge 0.\)

Khi đó
\(a^{2} +b^{2} +c^{2} =\left(x+4\right)^{2} +\left(y+5\right)^{2} +\left(z+6\right)^{2} =x^{2} +y^{2} +z^{2} +8x+10y+12z+77=90.\)
\(\Rightarrow x^{2} +y^{2} +z^{2} +8x+10y+12z=13.\)
\(T=\left(x+y+z\right)^{2} +12\left(x+y+z\right)=x^{2} +y^{2} +z^{2} +8x+10y+12z+2\left(xy+yz+zx+2x+y\right).\)
Vì \(x^{2} +y^{2} +z^{2} +8x+10y+12z=13 và x,y,z\ge 0 nên \left(x+y+z\right)^{2} +12\left(x+y+z\right)-13\ge 0.\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\ge 1\Leftrightarrow a-4+b-5+c-7\ge 1\Leftrightarrow a+b+c\ge 16\Rightarrow \left\{OA+OB+OC\right\}_{\min } =16.\)
Dấu `` = '' xảy ra khi và chỉ khi a=4,b=5,c=7

suy ra, \(A\left(4;0;0\right),B\left(0;5;0\right),C\left(0;0;7\right)\)

Gọi mặt cầu \(\left(S\right):x^{2} +y^{2} +z^{2} -2ax-2by-2cz+d=0\)

Vì \(A\left(4;0;0\right),B\left(0;5;0\right),C\left(0;0;7\right),O\left(0;0;0\right) \)nên ta có hệ
\(\left\{\begin{array}{l} {16-8a+d=0} \\ {25-10b+d=0} \\ {47-14z+d=0} \\ {d=0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {a=2} \\ {b=\frac{5}{2} } \\ {c=\frac{7}{2} } \\ {d=0} \end{array}\right. \)
Tâm của mặt cầu \(\left(S\right) là I\left(2;\frac{5}{2} ;\frac{7}{2} \right)\)

Mặt phẳng\( \left(\alpha \right) \)song song với mặt phẳng \(\left(OAB\right)\equiv \left(Oxy\right):z=0\Rightarrow \left(\alpha \right):z+e=0\)

Vì \(I\left(2;\frac{5}{2} ;\frac{7}{2} \right) thuộc \left(\alpha \right) nên \frac{7}{2} +e=0\Leftrightarrow e=-\frac{7}{2} \)

Suy ra, \(2z-7=0\Rightarrow m=0;n=0;p=2;q=-7 {\rm => T=\; m\; +\; n\; +\; p\; +\; q\; =\; -5}\)