Cho hai điểm A và B. Xét khối trụ (T) có trục là AB và có hai đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính AB. ​

Question

Trong không gian Oxyz cho hai điểm \(A\left(1;0;0\right),B\left(3;4;-4\right). \)Xét khối trụ (T) có trục là đường thẳng AB và có hai đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính AB. Khi (T) có thể tích lớn nhất, hai đáy của (T) nằm trên hai mặt phẳng song song lần lượt có phương trình là \(x+by+cz+d_{1} =0 \)và \(x+by+cz+d_{2} =0.\) Khi đó giá trị của biểu thức \(b+c+d_{1} +d_{2}\) thuộc khoảng nào sau đây

\(A. \left(0;21\right)\)

\(B. \left(-11;0\right)\)

\(C. \left(-29;-18\right)\)

\(D. \left(-20;-11\right) \)

Answer 1

Chọn C

 Mặt cầu đường kính AB có tâm \(I\left(2;2;-2\right) \)và bán kính bằng 3.

Gọi \(x,\left(0<x<3\right) \) là bán kính đáy của \(\left(T\right),\) khi đó \(\left(T\right) \)có chiều cao bằng \(h=2\sqrt{9-x^{2} },\) do đó thể tích của (T) bằng
\(V=2\pi x^{2} \sqrt{9-x^{2} } =4\pi .\sqrt{\frac{x^{2} }{2} .\frac{x^{2} }{2} .\left(9-x^{2} \right)} \le 4\pi \sqrt{\left(\frac{\frac{x^{2} }{2} +\frac{x^{2} }{2} +\left(9-x^{2} \right)}{3} \right)^{3} } =12\pi \sqrt{3} .\)
(T) có thể tích lớn nhất bằng \(V_{\max } =12\pi \sqrt{3}  khi x=\sqrt{6} \)

Khi đó gọi (P) là mặt phẳng chứa đường tròn đáy của (T), (P) có phương trình tổng quát dạng x+2y-2z+d=0. Khoảng cách từ tâm \(I\left(2;2;-2\right) đến \left(P\right) bằng \sqrt{3} \) nên
\(\frac{\left|2+2.2-2.\left(-2\right)+d\right|}{3} =\sqrt{3} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {d=3\sqrt{3} -10} \\ {d=-3\sqrt{3} -10} \end{array}\right. .\)
Vậy \(b+c+d_{1} +d_{2} =2-2+3\sqrt{3} -10-3\sqrt{3} -10=-20\)