Cho các số thực a, b thỏa mãn ab=25. Tìm Pmax của biểu thức P=(log15a)3+(log15b−1)3.

Question

Cho các số thực a, b thỏa mãn ab=25, \(a\ge \frac{1}{5} , b\ge 1\). Tìm Pmax  của biểu thức \(P=\left(\log _{\frac{1}{5} } a\right)^{3} +\left(\log _{\frac{1}{5} } b-1\right)^{3} .\)

\(A. P_{\max } =0.  B. P_{\max } =5. \)

\(C. P_{\max } =-\frac{4}{27} .  D. P_{\max } =-\frac{27}{4} . \)

Answer 1

Chọn D 

Ta có: \(ab=25\Leftrightarrow b=\frac{25}{a}     \) 
\(P=\left({\rm log}_{\frac{1}{5} } a\right)^{3} +\left({\rm log}_{\frac{1}{5} } b-1\right)^{3} =\left({\rm log}_{\frac{1}{5} } a\right)^{3} +\left({\rm log}_{\frac{1}{5} } \frac{25}{a} -1\right)^{3}\)

\(=\left({\rm log}_{\frac{1}{5} } a\right)^{3} -\left({\rm log}_{\frac{1}{5} } a+3\right)^{3} =-9\left({\rm log}_{\frac{1}{5} } a\right)^{2} -27{\rm log}_{\frac{1}{5} } a-27\)
Đặt \(t=\log _{\frac{1}{5} } a, vì b\ge 1\Leftrightarrow \frac{25}{a} \ge 1\Rightarrow \frac{1}{5} \le a\le 25\Rightarrow -2\le t\le 1\)

Khi đó: \(P=-9t^{2} -27t-27\)
\(P'=-18t-27\)\(P'=0\Leftrightarrow t=-\frac{3}{2} \)
\(P\left(-2\right)=-9; P\left(-\frac{3}{2} \right)=-\frac{27}{4} ; P\left(1\right)=-63.\) Vậy \(P_{\max } =-\frac{27}{4} .\)