Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=50729(2−a)(2−b)(2−c)+2(ab+bc+ca)−4(a+b+c)−abc−17. ​

Question

Cho \(\left\{\begin{array}{l} {a,{\rm \; }b,{\rm \; }c{\rm \; }\in \left[0;+\infty \right)} \\ {a^{2} +b^{2} +c^{2} =3} \end{array}\right. .\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
\(P=\frac{50}{729\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)} +2\left(ab+bc+ca\right)-4\left(a+b+c\right)-abc-17.\)
A. -20.

B. -24.

C. -25.

D. -30.
 

Answer 1

Chọn B

Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\le b\le c.\)

 Ta có \(\left\{\begin{array}{l} {a,{\rm \; }b,{\rm \; }c{\rm \; }\in \left[0;+\infty \right)} \\ {a^{2} +b^{2} +c^{2} =3} \end{array}\right.  \Rightarrow  3=a^{2} +b^{2} +c^{2} \ge 3a^{2}  \Rightarrow 0\le a\le 1. \)

Đặt \(t=\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right) \Rightarrow  2\left(ab+bc+ca\right)-4\left(a+b+c\right)-abc-17=t-25.\)

Khi đó \(P=\frac{50}{729t} +t-25.\)

Ta tìm điều kiện của biến t như sau

Ta có \(bc=\frac{2bc+3-3}{2} =\frac{2bc+\left(a^{2} +b^{2} +c^{2} \right)-3}{3} =\frac{\left(b+c\right)^{2} }{3} +\frac{a^{2} -3}{2} .\)

Do đó\( \left(2-b\right)\left(2-c\right)=4-2\left(b+c\right)+bc=\left[4-2\left(b+c\right)+\frac{\left(b+c\right)^{2} }{2} \right]+\frac{a^{2} -3}{2} \)

\(=\frac{1}{2} \left[\left(b+c\right)^{2} -4\left(b+c\right)+8\right]+\frac{a^{2} -3}{2}  =\frac{1}{2} \left[\left(\left(b+c\right)-2\right)^{2} +4\right]+\frac{a^{2} -3}{2} \ge \frac{1}{2} .4+\frac{a^{2} -3}{2}  =\frac{a^{2} +1}{2}  \)

Suy ra \(t\ge \left(2-a\right)\left(\frac{a^{2} +1}{2} \right)=\frac{1}{2} \left(-a^{3} +2a^{2} -a+2\right).\)

Xét hàm số \(f\left(a\right)=-a^{3} +2a^{2} -a+2 với a\in \left[0;1\right]. \)

Ta có \(f'\left(a\right)=-3a^{2} +4a-1, f'\left(a\right)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {a=1} \\ {a=\frac{1}{3} } \end{array}\right. .\)

Mà \(f\left(0\right)=2, f\left(\frac{1}{3} \right)=\frac{50}{27} , f\left(1\right)=2. Do đó f\left(a\right)\in \left[\frac{50}{27} ;2\right] \Rightarrow t\in \left[\frac{25}{27} ;1\right].\)

Xét hàm số \(g\left(t\right)=\frac{50}{729t} +t-25 với t\in \left[\frac{25}{27} ;1\right].\)

Ta có \(g'\left(t\right)=-\frac{50}{729t^{2} } +1\ge 1-\frac{50}{729} \left(\frac{27}{25} \right)^{2}  =\frac{23}{25} >0, \forall t\in \left[\frac{25}{27} ;1\right].\)

Do đó \(g\left(t\right)\) đồng biến trên đoạn \(\left[\frac{25}{27} ;1\right].\) Suy ra \(g\left(t\right)\ge g\left(\frac{25}{27} \right) =-24.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng -24, đạt được khi \(t=\frac{25}{27}  \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {a=\frac{1}{3} } \\ {b+c=2} \\ {a^{2} +b^{2} +c^{2} =3} \end{array}\right.  \)

\(\Leftrightarrow \left(a,b,c\right)=\left(\frac{1}{3} ;\frac{1}{3} ;\frac{5}{3} \right)\) và các hoán vị.