P=(a2b−4b2a)(b−a)2+8(7+52–√)(ab−a2)[4(2–√+1)b+a]√. ​Max của biểu thức (52–√−7)P thuộc khoảng nào dưới đây ? ​

Question

Cho biểu thức \(P=\left(\frac{a^{2} }{b} -\frac{4b^{2} }{a} \right)\left(b-a\right)^{2} +8\sqrt{\left(7+5\sqrt{2} \right)\left(ab-a^{2} \right)\left[4\left(\sqrt{2} +1\right)b+a\right]}  với {\rm a,}\, {\rm b} \) là hai số thực thỏa mãn \(0<a<-4\left(1+\sqrt{2} \right)b.\) Giá trị lớn nhất của biểu thức \(\left(5\sqrt{2} -7\right)P\) thuộc khoảng nào  dưới đây ?

\(A. \left(1;\, 5\right). B. \left(5;\, 10\right).\)

\(C. \left(10;20\right). D. \left(-5;5\right).\)
 

Answer 1

Chọn C

Với  các số thực \(m,\, \, n dương, x,\, \, y  \)tùy ý , ta có: 

\(\left(x+y\right)^{2} =\left(\sqrt{m} .\frac{x}{\sqrt{m} } +\sqrt{n} .\frac{y}{\sqrt{n} } \right)^{2} \le \left(m+n\right)\left(\frac{x^{2} }{m} +\frac{y^{2} }{n} \right)\) (Bất đẳng thức Bunhiacopski)

Hay: \(\frac{x^{2} }{m} +\frac{y^{2} }{n} \ge \frac{\left(x+y\right)^{2} }{m+n} .\)

Do đó: \(\frac{a^{2} }{-b} +\frac{4b^{2} }{a} \ge \frac{\left(a-2b\right)^{2} }{a-b}  . \)

Suy ra \(\left(\frac{a^{2} }{b} -\frac{4b^{2} }{a} \right)\left(b-a\right)^{2} \le \left(a-2b\right)^{2} \left(b-a\right).\)

Mặt khác :\(\left(7+5\sqrt{2} \right)\left(ab-a^{2} \right)\left[4\left(\sqrt{2} +1\right)b+a\right]=\left(1+\sqrt{2} \right)^{3} a\left(b-a\right)\left[4\left(\sqrt{2} +1\right)b+a\right]\)
\(=\left(1+\sqrt{2} \right)\left(a-b\right)\left[\left(3+2\sqrt{2} \right)a\right]\left[-4\left(\sqrt{2} +1\right)b-a\right]\)
\(\le \left(1+\sqrt{2} \right)\left(a-b\right)\left(\frac{\left(3+2\sqrt{2} \right)a-4\left(\sqrt{2} +1\right)b-a}{2} \right)^{2}\) (Bất đẳng thức Cô si).
\(=\left(1+\sqrt{2} \right)\left(a-b\right)\left(1+\sqrt{2} \right)^{2} \left(a-2b\right)^{2} =\left(7+5\sqrt{2} \right)\left(a-b\right)\left(a-2b\right)^{2} . \)
Suy ra \(8\sqrt{\left(7+5\sqrt{2} \right)\left(ab-a^{2} \right)\left[4\left(\sqrt{2} +1\right)b+a\right]} \le 8\sqrt{\left(7+5\sqrt{2} \right)\left(a-b\right)\left(a-2b\right)^{2} } . \)

Đặt \(t=\sqrt{\left(a-b\right)\left(a-2b\right)^{2} }  \left(t>0\right) .\)

Khi đó:\( P\le -t^{2} +8t\sqrt{7+5\sqrt{2} \; } =f\left(t\right)  trong đó {\mathop{\max }\limits_{t\in \left(0;+\infty \right)}} f\left(t\right)=16\left(7+5\sqrt{2} \right) \)

hay \(P\le 16\left(7+5\sqrt{2} \right)\)

Do đó:  \(\left(5\sqrt{2} -7\right)P\le 16\left(5\sqrt{2} -7\right)\left(5\sqrt{2} +7\right)=16.\)