x+y=2(x−3√+y+3√). Giá trị nhỏ nhất của biểu thứcP=4(x2+y2)+15xy

Question

Cho các số thực x,y thỏa mãn \(x+y=2\left(\sqrt{x-3} +\sqrt{y+3} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=4\left(x^{2} +y^{2} \right)+15xy\) là

\(A. \min P=-83. B. \min P=-63.\)

\(C. \min P=-80. D. \min P=-91.\)
 

Answer 1

Chọn A

Với \(x\ge 3,y\ge -3, ta có: x+y=2\left(\sqrt{x-3} +\sqrt{y+3} \right)\Leftrightarrow \left(x+y\right)^{2} =4\left(x+y\right)+8\sqrt{(x-3)\left(y+3\right)}  \eqref{GrindEQ__1_}\)

Do \(\sqrt{\left(x-3\right)\left(y+3\right)} \ge 0 nên \eqref{GrindEQ__1_}\Rightarrow \left(x+y\right)^{2} \ge 4\left(x+y\right)\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x+y\le 0\; } \\ {x+y\ge 4} \end{array}\right. \Leftrightarrow x+y\ge 4 \eqref{GrindEQ__2_}\)

Lại có:\( \sqrt{\left(x-3\right)\left(y+3\right)} \le \frac{x-3+y+3}{2} =\frac{x+y}{2}  nên \eqref{GrindEQ__1_}\Rightarrow \left(x+y\right)^{2} \le 8\left(x+y\right)\Leftrightarrow 0\le x+y\le 8 \eqref{GrindEQ__3_}\)

Kết hợp \(\eqref{GrindEQ__2_} và \eqref{GrindEQ__3_}, ta có 4\le x+y\le 8.\)

Hơn nữa, với \(x\ge 3,y\ge -3, ta cũng có: \left(x+3\right)\left(y+3\right)\ge 0\Leftrightarrow xy+3\left(x+y\right)+9\ge 0\)
\(\[\Leftrightarrow xy\ge -9-3\left(x+y\right)\] \)
Do đó: \(P=4\left(x^{2} +y^{2} \right)+15xy=4\left(x+y\right)^{2} +7xy\ge 4\left(x+y\right)^{2} -21\left(x+y\right)-63\)

Đặt t=x+y, ta có: \(P\ge 4t^{2} -21t-63 với t\in \left[4;8\right].\)

Xét hàm số \(f(t)=4t^{2} -21t-63, với  t\in \left[4;8\right]\), ta có \(f'(t)=8t-21>0,\; \forall t\in \left[4;8\right] \Rightarrow f(t)\) đồng biến trên đoạn \(\left[4;8\right] \Rightarrow f\left(t\right)\ge f\eqref{GrindEQ__4_}=-83,\; \; \forall t\in \left[4;8\right].\) Suy ra \(P\ge -83.\)
\(\[P=-83\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {x+y=4} \\ {y+3=0} \\ {x+y=2\left(\sqrt{x-3} +\sqrt{y+3} \right)} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {x=7} \\ {y=-3} \end{array}\right.  .\] \)
Vậy \(\min P=-83.\)