Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SDvà BC.

Question

Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCDlà hình thoi với \(\widehat{ABC}=60{}^\circ , BC=a\). Biết tam giác SABlà tam giác đều, mặt phẳng (SCD) hợp với mặt phẳng đáy một góc \(60{}^\circ \). Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SDvà BC.

\(A. \frac{a\sqrt{21} }{14} . B. \frac{a\sqrt{21} }{7} .\)

\(C. \frac{a\sqrt{7} }{4} . D. \frac{a\sqrt{21} }{3} .\)
 

Answer 1

Chọn B

Gọi Mlà trung điểm AB. Ta có \(CM\bot AB\Rightarrow CM\bot AB\)tại C

\(\left\{\begin{array}{l} {AB\bot CM} \\ {AB\bot SM} \end{array}\right. \Rightarrow AB\bot \left(SCM\right). Trong \left(SCM\right)vẽ SH\bot CM\Rightarrow SH\bot \left(ABCD\right).\)

Vì \(CD{\rm \; //\; AB}nên CD\bot \left(SCM\right)\Rightarrow\) \(\left(\widehat{\left(SCD\right),\left(ABCD\right)}\right)=\widehat{SCM}=60{}^\circ \)

Mặt khác \(SH=\frac{\sqrt{3} }{2} .\frac{a\sqrt{3} }{2} =\frac{3}{4} a.\)

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz(như hình vẽ) sao cho \(O\left(0;0;0\right); A\left(\frac{a}{2} ;0;0\right);\) \(B\left(0;\frac{a\sqrt{3} }{2} ;0\right)C\left(\frac{-a}{2} ;0;0\right);D\left(0;\frac{-a\sqrt{3} }{2} ;0\right)\)

Mlà trung điểm ABnên \(M\left(\frac{a}{4} ;\frac{a\sqrt{3} }{4} ;0\right)\)

Hlà trung điểm CM nên \(H\left(\frac{-a}{8} ;\frac{a\sqrt{3} }{8} ;0\right)\Rightarrow S\left(-\frac{a}{8} ;\frac{a\sqrt{3} }{8} ;\frac{3a}{4} \right)\)

\(\overrightarrow{BC}\left(-\frac{a}{2} ;-\frac{a\sqrt{3} }{2} ;0\right)\) cùng phương với \(\overrightarrow{u}=\left(1;\sqrt{3} ;0\right)\)

\(\overrightarrow{SD}=\left(\frac{a}{8} ;-\frac{5a\sqrt{3} }{8} ;-\frac{3a}{4} \right) cùng phương với \overrightarrow{v}=\left(1;-5\sqrt{3} ;-6\right)\)

\(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]=\left(-6\sqrt{3} ;6;-6\sqrt{3} \right) cùng phương với \overrightarrow{m}=\left(\sqrt{3} ;-1;\sqrt{3} \right)\)
\(\[\overrightarrow{DB}=\left(0;a\sqrt{3} ;0\right)\]  \[d\left(SD;BC\right)=\frac{\left|\overrightarrow{m}.\overrightarrow{DB}\right|}{\left|\overrightarrow{m}\right|} =\frac{a\sqrt{3} }{\sqrt{7} } =\frac{a\sqrt{21} }{7} .\] \)