Gọi điểm K là trung điểm của B'C'. Tính thể tích khối lăng trụ biết ​d(A′B′;BK)=32.

Question

Cho hình lăng trụ \(ABC.A^{'} B^{'} C^{'}\)  có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB=2;BC=4. Mặt bên \(ABB^{'} A^{'} \) là hình thoi có góc B bằng 60 độ . Gọi điểm K là trung điểm của B'C' . Tính thể tích khối lăng trụ biết\( d(A^{'} B^{'} ;BK)=\frac{3}{2} .\)

\(A. 4\sqrt{3} . B. 6.\)

\(C. 3\sqrt{3} . D. 2\sqrt{3} .\)
 

Answer 1

Chọn C

Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AB,BC và \( L=BK\cap B^{'} J\Rightarrow L \)là trung điểm của BK và\( B^{'} J.\)

Ta có \(B^{'} I=\sqrt{3} (vì \triangle ABB^{'} \) đều cạnh là 2), mặt khác\( {\rm IJ}=\frac{1}{2} AC=\frac{\sqrt{4^{2} -2^{2} } }{2} =\sqrt{3} \Rightarrow \triangle {\rm IJ}B^{'}\)  cân tại I

Lại có L là trung điểm\( B^{'} J\Rightarrow IL\bot B^{'} J hay IL\bot B^{'} L\eqref{GrindEQ__1_}.\)

Ta có\( \triangle B^{'} BK\) cân tại \(B^{'} \Rightarrow B^{'} L\bot BK\eqref{GrindEQ__2_}\)

Từ \(\eqref{GrindEQ__1_} và \eqref{GrindEQ__2_}\Rightarrow B^{'} L\bot (ABK)\Rightarrow d(B^{'} ,(ABK))=B^{'} L.\)

Dễ thấy\( A^{'} B^{'} //(ABK)\Rightarrow \frac{3}{2} =d(A^{'} B^{'} ,BK)=d(A^{'} B^{'} ,(ABK))=d(B^{'} ,(ABK))=B^{'} L.\)

Ta có\( IL=\sqrt{B^{'} I^{2} -B^{'} L^{2} } =\sqrt{3-\frac{9}{4} } =\frac{\sqrt{3} }{2} , mặt khác S_{\Delta B^{'} {\rm IJ}} =B^{'} L.IL=\frac{3}{2} .\frac{\sqrt{3} }{2} =\frac{3\sqrt{3} }{4} .\)

Ta có \(AB\bot (B^{'} {\rm IJ})\) nên dễ thấy đường cao\( B^{'} H \)của hình lăng trụ\(ABC.A^{'} B^{'} C^{'} \) là đường cao \(B^{'} H của \Delta B^{'} {\rm IJ}, do đó B^{'} H=\frac{2S_{\triangle B^{'} {\rm IJ}} }{{\rm IJ}} =\frac{\frac{3\sqrt{3} }{2} }{\sqrt{3} } =\frac{3}{2} .\)

Vậy \(V_{ABC.A^{'} B^{'} C^{'} } =S_{\triangle ABC} .B^{'} H=\frac{1}{2} .AB.AC.B^{'} H=\frac{1}{2} .2.2\sqrt{3} .\frac{3}{2} =3\sqrt{3}  \)