AB=a,SA⊥AB,SC⊥BC,​ khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng acăn3/3. V S.ABC bằng ​

Question

Cho hình chóp S.ABC có \(\Delta ABC \)vuông cân tại B,\(AB=a,SA\bot AB,SC\bot BC,\) khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng\( \frac{a\sqrt{3} }{3} . \)Thể tích khối chóp S.ABC bằng

\(A. \frac{a^{3} \sqrt{2} }{4} . B. \frac{a^{3} \sqrt{2} }{12} .\)

\(C. \frac{a^{3} \sqrt{6} }{3} . D. \frac{3a^{3} \sqrt{2} }{4} \).
 

Answer 1

Chọn B

Gọi I là trung điểm của SB. Do tam giác SAB vuông ở A, \Delta SCB vuông ở C nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC.

Gọi J là trung điểm của\( AC \Rightarrow J\) là tâm đường tròn ngoại tiếp\( \Delta ABC\)
\(\[\Rightarrow IJ\bot \left(ABC\right).\] \)
\(\[\Rightarrow d\left(S,\left(ABC\right)\right)=2d\left(I,\left(ABC\right)\right)=2IJ.\] \)
 Kẻ \(IH\bot BC \Rightarrow H\) là trung điểm của BC và \(JH=\frac{a}{2} .\)

 Kẻ \(JK\bot IH\begin{array}{cc} {} & {\left(1\right)} \end{array}\)

Ta có \(\left. \begin{array}{c} {IH\bot BC} \\ {JH\bot BC} \end{array}\right\}\Rightarrow BC\bot \left(IJH\right)\Rightarrow BC\bot JK\begin{array}{cc} {} & {\left(2\right)} \end{array}\)

Từ \(\eqref{GrindEQ__1_} và \eqref{GrindEQ___A202_} ta có JK\bot \left(SBC\right)\)
\(\[\Rightarrow d\left(A,\left(SBC\right)\right)=2d\left(J,\left(SBC\right)\right)=2JK=\frac{a\sqrt{3} }{3} \Rightarrow JK=\frac{a\sqrt{3} }{6} .\] \)
Tam giác IJK vuông ở \(J\Rightarrow \frac{1}{JK^{2} } =\frac{1}{IJ^{2} } +\frac{1}{JH^{2} } \Rightarrow IJ=\frac{JK.JH}{\sqrt{JH^{2} -JK^{2} } } =\frac{a\sqrt{2} }{4} .\)
\(\[\Rightarrow d\left(S,\left(ABC\right)\right)=\frac{a\sqrt{2} }{2} .\] \)
Thể tích khối chóp S.ABC là \(V=\frac{1}{3} d\left(S,\left(ABC\right)\right).S_{\Delta ABC} =\frac{1}{3} .\frac{a\sqrt{2} }{2} .\frac{1}{2} BA.BC=\frac{a^{3} \sqrt{2} }{12} .\)