ABC.A'B'C' có đáy ABC là tgv tại A với AB=2;BC=4. ABB'A' là hình thoi có góc B bằng. K là trung điểm của B'C'. Tính V

Question

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB=2;BC=4. Mặt bên ABB'A' là hình thoi có góc B bằng. Gọi điểm K là trung điểm của B'C'. Tính thể tích khối lăng trụ biết \(d(A'B';BK)=\frac{3}{2} .\)

\(A. 4\sqrt{3} . B. 6.\)

\(C. 3\sqrt{3} . D. 2\sqrt{3} .\)
 

Answer 1

Chọn C

Gọi I,J tương ứng là trung điểm của AB,BC; \(L=BK\cap B'J=\mathrm{>}\) Llà trung điểm BK.

Ta có: \(B'I=\sqrt{3}\)  (Vì \(\Delta ABB' \)đều có cạnh là 2).

\( \[IJ=\frac{1}{2} AC=\frac{1}{2} \sqrt{4^{2} -2^{2} } =\sqrt{3} \] \)
\(\Delta B'IJ cân tại I =\mathrm{>} IL\bot B'Jmà B'L\bot BK (vì \Delta B'BK cân tại B') =\mathrm{>} B'L\bot (ABK) \eqref{GrindEQ__1_}\)

Dễ có\( A'B'//(ABK)=>\frac{3}{2} =d(A'B',BK)=d(B',(ABK))=B'L (do (1))\)
\(\[=>IL=\sqrt{B'I^{2} -B'L^{2} } =\sqrt{3-\frac{9}{4} } =\frac{\sqrt{3} }{2} =>S_{\triangle B'IJ} =B'L.IL=\frac{3\sqrt{3} }{4} \] \)
Ta có\( AB\bot (B'IJ), \)nên dễ thấy đường cao B'Hcủa ABC.A'B'C' là đường cao B'Hcủa \(\triangle B'IJ,\) do đó:
\(\[B'H=\frac{2S_{\triangle B'IJ} }{IJ} =\frac{3\sqrt{3} }{2} \div \sqrt{3} =\frac{3}{2} \] \)
\(\[V_{ABC.A'B'C'} =S_{\triangle ABC} .B'H=\frac{1}{2} .2.2\sqrt{3} .\frac{3}{2} =3\sqrt{3} \] \)