​Điểm N thuộc cạnh CD sao cho tam giác MNI có diện tích bằng a2/3. Tính góc giữa hai mặt phẳng (MNI) và (SAC). ​

Question

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Biết rằng AD=2a,AB=BC=a,SA=2a và SA vuông góc với đáy, gọi I là trung điểm của AD, M là điểm thuộc cạnh SD sao cho SM=2MD. Điểm N thuộc cạnh CD sao cho tam giác MNI có diện tích bằng \(\frac{a^{2} }{3} .\) Tính góc giữa hai mặt phẳng (MNI) và (SAC).

\(A. 30^{0} . B.45^{0} .\)

\(C. 60^{0} . D. 70^{0} .\)
 

Answer 1

Chọn B

Ta có\( AC=a\sqrt{2} ,CD=a\sqrt{2} ,AD=2a\Rightarrow \triangle ACD vuông tại C\Rightarrow CD\bot AC.\)

Mặt khác \(CD\bot SA\Rightarrow CD\bot (SAC)\)

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng\( (MNI) và (SAC), ta cóc{\rm os}\alpha =\sin (CD,(MNI))\)

Ta có \(\frac{V_{D.MNI} }{V_{D.SAC} } =\frac{DM}{DS} .\frac{DI}{DA} .\frac{DN}{NC} =\frac{1}{3} .\frac{1}{2} .\frac{DN}{NC} \Rightarrow V_{D.MNI} =\frac{1}{6} .\frac{DN}{NC} .V_{D.SAC} \)

Mặt khác có\( \begin{array}{l} {V_{S.ACD} =\frac{1}{3} .SA.\frac{1}{2} .AC.CD=\frac{1}{6} .2a.a\sqrt{2} .a\sqrt{2} =\frac{2a^{3} }{3} } \\ {V_{D.MNI} =\frac{1}{3} .d(D,(MNI)).S_{MNI} =\frac{1}{3} .d(D,(MNI)).\frac{a^{2} }{3} } \end{array}\)
\(\[\Rightarrow d(D,(MNI))=\frac{DN}{DC} .a\] \)
Ta có \(\sin (CD,(MNI))=\frac{d(D,(MNI))}{DN} =\frac{\frac{DN}{DC} .a}{DN} =\frac{a}{DC} =\frac{a}{a\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2} \Rightarrow \alpha =45^{0} . \)