\(y=\sin \frac{2x}{1+x^{2} } +\cos \frac{4x}{1+x^{2} } +1\)
Tập xác định \(D={\rm R}.\)
Đặt \(t=\frac{2x}{1+x^{2} }\) , ta có:
\(\left. \begin{array}{l} {\left|t\right|=\frac{2\left|x\right|}{1+x^{2} } \le 1,\, \forall x\ne 0} \\ {x=0\Rightarrow t=0} \end{array}\right\}\Rightarrow t\in \left[-1;\, 1\right]. \)
Hàm số trở thành \(y=\sin t+\cos 2t+1,\, \, \, \, \, \, \, \, \forall t\in \left[-1;\, 1\right].
\Rightarrow y=-2\sin ^{2} t+\sin t+2. \)
Đặt \(a=\sin t\, \)suy ra \(a\in \left[\sin \left(-1\right);\sin \left(1\right)\, \right].\)
Hàm số trở thành \(y=-2a^{2} +a+2.\)
Ta có bảng biến thiên:
Vậy:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(y=-2\left(\sin \left(-1\right)\right)^{2} +\sin \left(-1\right)+2.\)
Giá trị lớn nhất của hàm số là \(y=\frac{17}{8} .\)
