\(y=\frac{\sin 3x+2\cos 3x+1}{\sin 3x+\cos 3x+2} \)
Ta có \(\sin 3x+\cos 3x+2\ne 0\, \, \, \, \forall x.\) Tập xác định \(D={\rm R}\)
Giả sử \(y_{0} \) là một giá trị hàm số, khi đó tồn tại \(x\in {\rm R}\) sao cho:
\(y_{0} \left(\sin 3x+\cos 3x+2\right)=\sin 3x+2\cos 3x+1. \)
\(\Leftrightarrow \left(y_{0} -1\right)\sin 3x+\left(y_{0} -2\right)\cos 3x=1-2y_{0} . \)
Phương trình có nghiệm khi:
\(\left(y_{0} -1\right)^{2} +\left(y_{0} -2\right)^{2} \ge \left(1-2y_{0} \right)^{2} . \)
\(\Leftrightarrow 2y_{0}^{2} +2y_{0} -4\le 0.
\Leftrightarrow -2\le y_{0} \le 1. \)
Vậy:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là -2, khi \(3\sin 3x+4\cos 3x=-5\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{6} -\frac{\alpha }{3} +k\frac{2\pi }{3} ,\; k\in {\rm Z}\)
(với\( \cos \alpha =\frac{3}{5} ;\, \sin \alpha =\frac{4}{5} ).\)
Giá trị lớn nhất của hàm số là 1, khi \(\cos 3x=1\Leftrightarrow x=k\frac{2\pi }{3} ,\; k\in {\rm Z}.\)