Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của y=sin2x1+x2+cos4x1+x2+1.

Question

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \(y=\sin \frac{2x}{1+x^{2} } +\cos \frac{4x}{1+x^{2} } +1. \)

Answer 1

\(y=\sin \frac{2x}{1+x^{2} } +\cos \frac{4x}{1+x^{2} } +1\)

Tập xác định \(D={\rm R}.\)

 Đặt \(t=\frac{2x}{1+x^{2} }\) , ta có:
\(\left. \begin{array}{l} {\left|t\right|=\frac{2\left|x\right|}{1+x^{2} } \le 1,\, \forall x\ne 0} \\ {x=0\Rightarrow t=0} \end{array}\right\}\Rightarrow t\in \left[-1;\, 1\right]. \)
 Hàm số trở thành \(y=\sin t+\cos 2t+1,\, \, \, \, \, \, \, \, \forall t\in \left[-1;\, 1\right]. \Rightarrow y=-2\sin ^{2} t+\sin t+2. \)
Đặt \(a=\sin t\,  \)suy ra \(a\in \left[\sin \left(-1\right);\sin \left(1\right)\, \right].\)

Hàm số trở thành \(y=-2a^{2} +a+2.\)

Ta có bảng biến thiên:

Vậy:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(y=-2\left(\sin \left(-1\right)\right)^{2} +\sin \left(-1\right)+2.\)

Giá trị lớn nhất của hàm số là \(y=\frac{17}{8} .\)