A(a;0;0),B(0;a;0),C(a;a;0)vàD(0;0;m),(a,m>0).A′,B′là hc vuông góc của O lên AD,BD. Viết ptmp qua O,A',B'...

Question

Cho \(A\left(a\, ;\, 0\, ;\, 0\right),\, B\left(0\, ;a\, ;\, 0\right),\, C\left(a\, ;\, a\, ;0\right) và D\left(0\, ;\, 0\, ;\, m\right),\, \left(a,m>0\right)\, . A',\, B'\) là hình chiếu vuông góc của O  lên AD,BD.
Viết phương trình mặt phẳng đi qua O,A',B'. Chứng minh mặt phẳng đó vuông góc với CD. 
 

Answer 1

Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm và \(\left(\alpha \right),\, \left(\beta \right)\, \)là các mặt phẳng qua O và lần lượt vuông góc với AD,BD . 

\(\overrightarrow{AD}=\left(-a\, ;\, 0\, ;m\right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left(\alpha \right):ax-mz=0\, .\)

Phương trình đường thẳng \(AD:\, \left\{\begin{array}{l} {x=a-at} \\ {y=0} \\ {z=mt} \end{array}\right. \, .\)

Tọa độ điểmA là nghiệm của hệ\( \, \left\{\begin{array}{l} {x=a-at} \\ {y=0} \\ {z=mt} \\ {ax-m{\rm z}=0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \, \, \left\{\begin{array}{l} {x=\frac{am^{2} }{a^{2} +m^{2} } } \\ {y=0} \\ {z=\frac{a^{2} m}{a^{2} +m^{2} } } \\ {t=\frac{a^{2} }{a^{2} +m^{2} } } \end{array}\right. \Rightarrow A'\left(\frac{am^{2} }{a^{2} +m^{2} } ;\, 0\, ;\, \frac{a^{2} m}{a^{2} +m^{2} } \right)\)

\(\overrightarrow{BD}=\left(0\, ;\, -a\, ;m\right) \)nên phương trình mặt phẳng \(\left(\beta \right):ay-mz=0\, .\)

Phương trình đường thẳng \(BD:\, \left\{\begin{array}{l} {x=0} \\ {y=a-at} \\ {z=mt} \end{array}\right. \, .\)

Tọa độ điểmB' là nghiệm của hệ \(\, \left\{\begin{array}{l} {x=0} \\ {y=a-at} \\ {z=mt} \\ {ay-m{\rm z}=0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \, \, \left\{\begin{array}{l} {x=0} \\ {y=\frac{am^{2} }{a^{2} +m^{2} } } \\ {z=\frac{a^{2} m}{a^{2} +m^{2} } } \\ {t=\frac{a^{2} }{a^{2} +m^{2} } } \end{array}\right. \Rightarrow B'\left(0\, ;\frac{am^{2} }{a^{2} +m^{2} } ;\, \frac{a^{2} m}{a^{2} +m^{2} } \right) \)
\(\overrightarrow{OA'}=\left(\frac{am^{2} }{a^{2} +m^{2} } ;\, 0\, ;\, \frac{a^{2} m}{a^{2} +m^{2} } \right){\rm //}\, \overrightarrow{u}=\left(m\, ;\, 0\, ;\, a\right) \)
\(\overrightarrow{OB'}=\left(0\, ;\frac{am^{2} }{a^{2} +m^{2} } ;\, \frac{a^{2} m}{a^{2} +m^{2} } \right){\rm //}\, \overrightarrow{v}=\left(0\, ;\, m\, ;\, a\right),\) 
Ta có \(\left[\overrightarrow{u}\, ,\, \overrightarrow{v}\right]{\rm =}\left(-am\, ;\, -am\, ;\, m^{2} \right){\rm //}\, \overrightarrow{DC}=\left(a\, ;\, a\, ;\, -m\right).\)

Măt phẳng (P) đi qua điểm O và có VTPT \(\overrightarrow{DC}\) nên có phương trình là ax+ay-mz=0

Vì măt phẳng (P) có VTPT\( \overrightarrow{DC}\) nên mặt phẳng (P) vuông góc với CD .