Question

Cho hình thang có hai đáy không bằng nhau. Chứng minh rằng

a) Tổng hai cạnh bên lớn hơn hiệu hai đáy.

b) Tổng hai góc kề đáy nhỏ lớn hơn tổng hai góc kề đáy lớn.

Answer 1

Để chứng minh hai điều trên, ta sẽ sử dụng các định lý và tính chất trong hình học. Giả sử ta có hình thang ABCD với AB < CD và AB song song với CD.

a) Tổng hai cạnh bên lớn hơn hiệu hai đáy.

Đặt x là độ dài của cạnh bên AD và y là độ dài của cạnh bên BC. Ta cần chứng minh rằng x+y>CD−AB.

Do AB < CD, nên tồn tại một điểm E trên cạnh CD sao cho CE = AB. Khi đó, tam giác ADE và tam giác BCE là hai tam giác đều với cạnh đáy lần lượt là AD và BC. Do đó, ta có x=AE và y=BE.

Vì vậy, x+y=AE+BE=AB+BE=CD>CD−AB.

b) Tổng hai góc kề đáy nhỏ lớn hơn tổng hai góc kề đáy lớn.

Đặt α là góc BAD, β là góc ABC, γ là góc CDA và δ là góc DCB. Ta cần chứng minh rằng α+β>γ+δ.

Do AB song song với CD, nên α=δ và β=γ (theo định lý góc so le trong hình học). Do đó, α+β=δ+γ.

Tuy nhiên, do AB < CD, nên góc α và góc β sẽ lớn hơn góc γ và góc δ. Vì vậy, α+β>γ+δ.

Như vậy, ta đã chứng minh được hai điều trên.