Chứng minh phương trình

Question

Chứng minh rằng phương trình x³ - 3x + 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt x₁, x₂, x₃ (x₁ < x₂ < x₃) thỏa mãn hệ thức .

Answer 1

Xét hàm số  trên . Hàm số f(x) liên tục trên 

Ta có: 

Hàm số liên tục trên  nên cũng sẽ liên tục trên [-2;2]

Mặt khác:

Nên ta dễ thấy  có 3 nghiệm nằm trên khoảng (-2;2)

Mà f(x) là phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm. Vậy pt  có 3 nghiệm phân biệt trên (-2;2)

Đặt:  Thay vô phương trình ta được:

Do  nên ta được 3 nghiệm thoả pt là 

Nên ta được 3 nghiệm của phương trình ban đầu lần lượt là: