Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :

Question

Cho hàm số y = x3 + 3x2 + 1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :

1. Tại điểm M (-1; 3).

2. Tại điểm có hoành độ bằng 2.

 

3. Tại điểm có tung độ bằng 1.

4. Biết rằng tiếp tuyến có hệ số góc là 9.

5. Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d ): 27x - 3y + 5 = 0

6. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d’ ) : x + 9y + 2013 = 0

Answer 1

- Hàm số đã cho xác định: D = R

- Ta có: y' = 3x2 + 6x

1. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M(-1 ; 3) có phương trình:

   y = y'(-1).(x + 1) + 3

- Ta có: y'(-1)= 3(-1)2 + 6.(-1) = -3, khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

   y = -3(x + 1) + 3 hay y = -3x.

2. Ta có: y(2) = 21 và y'(2) = 24.

- Do đó, phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = 2 là:

   y = 24( x - 2) + 21 hay y = 24x - 27.

3. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng 1.

- Ta có:

   

+) Với x = 0 ; y = 1 và y'(0) = 0. Nên phương trình tiếp tuyến tại điểm M(0, 1) là:

   y = 0(x - 0) +1 hay y = 1

+) Với x= -3 , y = 1 và nên phương trình tiếp tuyến tại điểm N(-3, 1) là:

   y = 9(x + 3) + 1 hay y = 9x + 28

- Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là: y = 1 và y = 9x + 28.

4. Gọi (x0, y0) là tọa độ tiếp điểm của đồ thị hàm số (C) và tiếp tuyến Δ.

- Ta có: 

theo giả thiết hệ số góc của tiếp tuyến là 9 nên:

   

+) Với x0 = 1 thì y0 = 5 nên phương trình tiếp tuyến tại điểm (1; 5) là:

   y = 9( x - 1) + 5 hay y = 9x – 4

+) Với x0= -3 thì y0 =1 nên phương trình tiếp tuyến tại điểm ( -3;1) là:

   y = 9(x + 3) + 1 hay y = 9x + 28

5. Gọi (x0,y0) là tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C ) và tiếp tuyến ∆.

- Đường thẳng d :

   

- Vì tiếp tuyến ∆ // d nên tiếp tuyến ∆ có hệ số góc k= 9.

- Theo 4) có hai tiếp tuyến có hệ số góc k = 9 là:

   y = 9x – 4 và y = 9x + 28.

6. Gọi (x0, y0) là tọa độ tiếp điểm của đồ thị hàm số (C ).

- Đường thẳng (d'): x + 9y + 2013 = 0  có hệ số góc 

- Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d’ nên:

   

→ Bài toán trở thành viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc của tiếp tuyến là 9.

- Theo 4) có hai tiếp tuyến có hệ số góc k = 9 là:

   y = 9x – 4 và y = 9x + 28.