Question

Cho hàm số \(y=x^{3} -3x^{2} +2.\) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết cosin góc tạo bởi tiếp tuyến và đường thẳng \(\Delta :4x-3y=0\) bằng \(\frac{3}{5} . \)

A.y=2;y=1.

B.y=-2;y=1.

C. y=-2;y=-1.

D.y=2;y=-2.

Answer 1

Chọn D

Cách 1.

Ta có: 

 Đường thẳng \(\Delta :4x-3y=0\) có hệ số góc là \(k=\frac{4}{3} .\)

Gọi góc tạo bởi tiếp tuyến với đường thẳng \(\Delta \) là

\(\alpha \Rightarrow \cos \alpha =\frac{3}{5} \Rightarrow \tan \alpha =\sqrt{\frac{1}{\cos ^{2} \alpha } -1} =\frac{4}{3} \)

Gọi \(k_{1}  \)là hệ số góc của tiếp tuyến \(\Rightarrow k_{1} =y'=3x^{2} -6x.  \)

Suy ra\( \tan \alpha =\left|\frac{k_{1} -k}{1+k_{1} .k} \right|\Leftrightarrow \frac{4}{3} =\left|\frac{k_{1} -\frac{4}{3} }{1+k_{1} .\frac{4}{3} } \right|\Leftrightarrow \left|\frac{3k_{1} -4}{4k_{1} +3} \right|=\frac{4}{3}\)

\( \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {k_{1} =0} \\ {k_{1} =\frac{-24}{7} } \end{array}\right. \)

+ Với \(k_{1} =0\Leftrightarrow 3x^{2} -6x=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=0} \\ {x=2} \end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{l} {y=2} \\ {y=-2} \end{array}\right. \)

Phương trình tiếp tuyến là: \(\left[\begin{array}{l} {y=0.\left(x-0\right)+2} \\ {y=0.\left(x-2\right)-2} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {y=2} \\ {y=-2} \end{array}\right. .\)

+ Với \(k_{1} =\frac{-24}{7} \Leftrightarrow 3x^{2} -6x=\frac{-24}{7} \Leftrightarrow 21x^{2} -42x+24=0\)

( phương trình vô nghiệm) 

Vậy hai tiếp tuyến cần tìm là \(\left[\begin{array}{l} {y=2} \\ {y=-2} \end{array}\right. \)

Cách 2.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng: \(d:y=kx+b.\)

Đường thẳng \(\Delta\)  có vectơ pháp tuyến: \(\vec{n}_{1} =\left(4;-3\right)\).

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến: \(\vec{n}_{2} =\left(k;-1\right).\)

Theo đề bài ta có
\(\begin{array}{l} {\cos \left(\Delta ,d\right)=\frac{3}{5} \Leftrightarrow \frac{\left|\vec{n}_{1} .\vec{n}_{2} \right|}{\left|\vec{n}_{1} \right|.\left|\overrightarrow{n_{2} }\right|} =\frac{3}{5} \Leftrightarrow \frac{\left|4k+3\right|}{5\sqrt{k^{2} +1} } =\frac{3}{5} } \\ {\Leftrightarrow \left(4k+3\right)^{2} =9\left(k^{2} +1\right)\Leftrightarrow 16k^{2} +24k+9=9k^{2} +9} \\ {\Leftrightarrow 7k^{2} +24k=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {k=0} \\ {k=-\frac{24}{7} } \end{array}\right. } \end{array} \)
+ Với \(k_{1} =0\Leftrightarrow 3x^{2} -6x=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=0} \\ {x=2} \end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{l} {y=2} \\ {y=-2} \end{array}\right. \)

Phương trình tiếp tuyến là: \(\left[\begin{array}{l} {y=0.\left(x-0\right)+2} \\ {y=0.\left(x-2\right)-2} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {y=2} \\ {y=-2} \end{array}\right. .\)

+ Với \(k_{1} =\frac{-24}{7} \Leftrightarrow 3x^{2} -6x=\frac{-24}{7} \Leftrightarrow 21x^{2} -42x+24=0\)

( phương trình vô nghiệm) 

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là \(\left[\begin{array}{l} {y=2} \\ {y=-2} \end{array}\right.  \)