Cho f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên R thỏa mãn ∫f(x)dx=2 . Khi đó giá trị của tích phân ∫f(x)dx là:

Question

Cho f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên \({\rm R}\) thỏa mãn \(\int _{-1}^{1}f(x)dx=2\) . Khi đó giá trị của tích phân \(\int _{0}^{1}f(x)dx\)  là:

 A. 2.

  B. 0  

C. -1  

 D.1

Answer 1

Chọn D

 f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên \({\rm R}\) nên

\(\int _{-1}^{1}f(x)dx=2\int _{0}^{1}f(x)dx \).

 Mà \(\int _{-1}^{1}f(x)dx=2 .\) nên \(\int _{0}^{1}f(x)dx =1\).

 Chú ý :

Có thể biến đổi \(\int _{-1}^{1}f(x)dx=\int _{-1}^{0}f(x)dx+\int _{0}^{1}f(x)dx  .\) 

Xét\( I=\int _{-1}^{0}f(x)dx \)

Đặt   \(x=-t\Rightarrow dx=-dt \).

Đổi cận: 

x	-1	0
t	1	0

Vì f(x) là hàm chẵn nên f(-t)= f(t).

\(  I=-\int _{-1}^{0}f(-t)dt=\int _{0}^{1}f(t)dt=\int _{0}^{1}f(x)dx  \).  

 Vậy \(\int _{-1}^{1}f(x)dx=2\int _{0}^{1}f(x)dx . \)