Tìm m (m là số thực ) để phương trình z^3+(3+i)z^2-3z-(m+i)=0 có ít nhất một nghiệm thực ?

Question

Tìm m (m là số thực ) để phương trình \(z^{3} +\left(3+i\right)z^{2} -3z-\left(m+i\right)=0\) có ít nhất một nghiệm thực ?

A. m=1 hay m=5 

B. m=1.

C. m=5.

D. m=4.

Answer 1

 Ta chọn câu A

Giả sử phương trình có một nghiệm thực là z=a .

Khi đó ta có :
\(a^{3} +\left(3+i\right)a^{2} -3a-m-i=0\)
\(\Leftrightarrow a^{3} +3a^{2} -3a-m+\left(a^{2} -1\right)i=0\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {a^{3} +3a^{2} -3a-m=0} \\ {a^{2} -1=0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {\left\{\begin{array}{l} {m=1} \\ {a=1} \end{array}\right. } \\ {\left\{\begin{array}{l} {m=5} \\ {a=-1} \end{array}\right. } \end{array}\right. \)
Với m=1 ta có :

\(z^{3} +\left(3+i\right)z^{2} -3z-\left(1+i\right)=0\Leftrightarrow \left(z-1\right)\left[z^{2} +\left(4+i\right)+1+i\right]=0\) 

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {z=1} \\ {z^{2} +\left(4+i\right)+1+i=0} \end{array}\right.\)

\(\Rightarrow  \)Phương trình có nghiệm thực z=1 

Với m=5 ta có :
\(z^{3} +\left(3+i\right)z^{2} -3z-\left(5+i\right)=0\Leftrightarrow \left(z+1\right)\left[z^{2} +\left(2+i\right)-5-i\right]=0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {z=-1} \\ {z^{2} +\left(2+i\right)-5-i=0} \end{array}\right.  \)
\(\Rightarrow\)  Phương trình có  nghiệm thực z=-1

Vậy: với m=1 hay m=5 thì yêu cầu bài toán được thỏa mãn