Cho số phức z=√3 +i. Tìm n ∈ N* để z^n là số thực.

Question

Cho số phức \(z=\sqrt{3} +i\). Tìm \(n\in {\rm N}^{*}\)  để \(z^{n}\)   là số thực.

\(A. n=4k+2,k\in N^{*}  . \)

\(B. n=6k,k\in N^{*} . \)

\(C. n=3k+3,k\in N^{*} . \)

\(D. n=3k+2,k\in N^{*} .\)

Answer 1

Chọn B

Ta thấy \(z=\left(\sqrt{3} +i\right)^{6k} =\left(\left(\sqrt{3} +i\right)^{6} \right)^{k} =\left(-64\right)^{k} \) 

là số thực với \(k\in {\rm N}^{*} .\)

Cách 2

Ta có \(z=\sqrt{3} +i=2\left(\frac{\sqrt{3} }{2} +\frac{1}{2} i\right)=2\left(\cos \frac{\pi }{6} +i\sin \frac{\pi }{6} \right)\).

 Suy ra \(z^{n} =2^{n} \left(\cos \frac{n\pi }{6} +i\sin \frac{n\pi }{6} \right)\).

Để \(z^{n}\)  là số thực thì \(\sin \frac{n\pi }{6} =0\) (với \(n\in {\rm N}^{*} \))

Có \(\sin \frac{n\pi }{6} =0\Leftrightarrow \frac{n\pi }{6} =k\pi \Rightarrow n=6k{\rm \; }\left(k\in {\rm N}^{*} \right).\)