Tìm số nguyên dương n bé nhất để (√3+i/{1-i)^n là số thực.

Question

Tìm số nguyên dương n bé nhất để \(\left(\frac{\sqrt{3} +i}{1-i} \right)^{n}\)  là số thực.

A. 9.

B. 10.

C. 11.

D. 12.

Answer 1

Chọn D

Ta có: 
\(\left(\sqrt{3} +i\right)^{3} =3\sqrt{3} +9i+3\sqrt{3} i^{2} +i^{3} =8i\)
\(\left(1-i\right)^{3} =1-3i+3i^{2} -i^{3} =-2-2i \)
\(\Rightarrow \left(\frac{\sqrt{3} +i}{1-i} \right)^{3} =\frac{8i}{-2-2i} =-2-2i\)
Mà \(\left(-2-2i\right)^{2} =8i\Rightarrow \left(-2-2i\right)^{4} =-64\)

Do đó \(\left(\frac{\sqrt{3} +i}{1-i} \right)^{12} =\left(-2-2i\right)^{4} =-64\) là số thực

Vậy n=12 là số nguyên dương nhỏ nhất cần tìm.