Phương trình z^2 =|z|^2+z có bao nhiêu nghiệm phức?

Question

Phương trình \(z^{2} =|z|^{2} +\bar{z}\) có bao nhiêu nghiệm phức? 

 A. 0.   

B. 1.   

C. 2.   

D. 3.

Answer 1

Chọn D
\(z^{2} =|z|^{2} +\bar{z} \left(1\right) \)
Giả sử \(z=x+yi\, (x,y\in {\rm R})\)

Ta có: 
\(\left(1\right)\Leftrightarrow \left(x+yi\right)^{2} =x^{2} +y^{2} +x-yi\)

\(\Leftrightarrow x^{2} +2xyi-y^{2} =x^{2} +y^{2} +x-yi\)
\(\Leftrightarrow \left(-2y^{2} -x\right)+\left(2xy+y\right)i=0\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {-2y^{2} -x=0} \\ {2xy+y=0} \end{array}\right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {x+2y^{2} =0} \\ {\left[\begin{array}{l} {y=0} \\ {x=-\frac{1}{2} } \end{array}\right. } \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=y=0} \\ {\left\{\begin{array}{l} {x=-\frac{1}{2} } \\ {y^{2} =\frac{1}{4} } \end{array}\right. } \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=y=0} \\ {x=-\frac{1}{2} ;y=\frac{1}{2} } \\ {x=-\frac{1}{2} ;y=-\frac{1}{2} .} \end{array}\right.  \)
Vậy có 3 nghiệm phức thỏa mãn phương trình đã cho là:

\(z=0;z=-\frac{1}{2} +\frac{1}{2} i;z=-\frac{1}{2} -\frac{1}{2} i. \)