Cắt một hình trụ có chiều cao h=2a bằng mặt phẳng (AA'B) vuông góc mặt đáy (như hình vẽ), biết góc...

Question

Cắt một hình trụ có chiều cao h=2a bằng mặt phẳng \(\left(AA'B\right)\) vuông góc mặt đáy (như hình vẽ), biết góc giữa trục OO' với \(A'B=30^{{}^\circ }\) . Khoảng cách từ tâm O đến \(\left(AA'B\right)\) bằng \(a\sqrt{2}\) . Tính thể tích khối trụ.

\(A. \frac{14\pi a^{3} }{3} . \)

\(B. 10\pi a^{3} . \)

\(C. 4\pi a^{3} \).

\(D. \frac{9\pi a^{3} }{2} .\)

Answer 1

Chọn A

\(\widehat{\left(O'O,A'B\right)}=\widehat{\left(A'A,A'B\right)}=\widehat{AA'B}=30^{0} . \)
Xét \(\Delta A'AB\) vuông tại A, ta có:

\(\tan AA'B=\frac{AB}{A'A} \Leftrightarrow AB=\frac{2\sqrt{3} a}{3} .\)

Gọi H là trung điểm \(AB\Rightarrow OH\bot AB \) (t/c đường kính và dây)

và \(AH=\frac{a\sqrt{3} }{3} .\)

Mà \(AA'\bot OH (AA'\bot\) đáy)
\(\Rightarrow OH\bot \left(AA'B\right)\Rightarrow d\left(O,\left(AA'B\right)\right)=OH=a\sqrt{2} \). 
Xét \(\Delta OAH\) vuông tại H, ta có:

\(OA=\sqrt{OH^{2} +AH^{2} } =\sqrt{2a^{2} +\frac{a^{2} }{3} } =\frac{a\sqrt{21} }{3} .\)

Vậy \(V=\pi .OA^{2} .A'A=\frac{14\pi a^{3} }{3}\)  (đvtt).