Cho khối trụ (T). Gọi O và O' là tâm của hai đáy khối trụ. Một mặt phẳng song song với OO' cắt khối...

Question

Cho khối trụ \(\left(T\right)\). Gọi O và O' là tâm của hai đáy khối trụ. Một mặt phẳng song song với OO' cắt khối trụ theo thiết diện là hình vuông ABCD. Biết điểm A nằm trên đáy có tâm O của khối trụ, góc giữa đường thẳng CO và mặt phẳng \(\left(ABCD\right)\) bằng \(60^{{}^\circ }\) , thể tích của khối trụ \(\left(T\right)\) là \(32\pi\) . Khi đó cạnh của hình vuông ABCD có độ dài là

A. 4.

B. 6.

C. 3.

D.2.

Answer 1

Chọn D

 

Giả sử hai điểm A và B cùng nằm trên đáy

có tâm O của hình trụ.

Gọi cạnh của hình vuông ABCD có độ dài là a;

H là trung điểm của AB. 

Ta có: 

\(\left\{\begin{array}{l} {OH\bot AB} \\ {OH\bot BC} \end{array}\right.\) \(\Rightarrow OH\bot \left(ABCD\right)\)

\(\Rightarrow\)góc giữa CO và mặt phẳng \(\left(ABCD\right)\)

bằng góc \(\widehat{HCO}=60{}^\circ .\)

Trong tam giác HBC vuông tại B ta có:

\(CH=\sqrt{HB^{2} +CB^{2} } =\sqrt{\left(\frac{a}{2} \right)^{2} +a^{2} } =\frac{a\sqrt{5} }{2} .\)

Trong tam giác CHO vuông tại H ta có:

\(OH=CH.\tan \widehat{HCO}=CH.\tan 60^{{}^\circ } =\frac{a\sqrt{5} }{2} .\sqrt{3} =\frac{a\sqrt{15} }{2} .\)

Trong tam giác AOH vuông tại H ta có:

\(AO=\sqrt{AH^{2} +HO^{2} } =\sqrt{\left(\frac{a}{2} \right)^{2} +\left(\frac{a\sqrt{15} }{2} \right)^{2} } =2a.\)

Thể tích khối trụ \(\left(T\right)\) bằng

\(32\pi \Leftrightarrow \pi AO^{2} BC=32\pi \Leftrightarrow \pi \left(2a\right)^{2} a=32\pi \Leftrightarrow a=2.\)

Vậy cạnh của hình vuông ABCD có độ dài là 2.