Question

Cho khối cầu có bán kính R. Khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình cầu có chiều cao là

\(A. R\sqrt{3} . \)

\(B. \frac{R\sqrt{3} }{3} .\)

\(C. \frac{4R\sqrt{3} }{3} . \)

\(D. \frac{2R\sqrt{3} }{3} .\)

Answer 1

Chọn D

Giả sử 2x là chiều cao hình trụ (0

Bán kính của khối trụ là \(r=\sqrt{R^{2} -x^{2} } . \)

Thể tích khối trụ là:\(V=\pi (R^{2} -x^{2} )2x. \)

Xét hàm số \(V(x)=\pi (R^{2} -x^{2} )2x,\, \, 0<x<R.\)

Ta có: \(V'(x)=2\pi (R^{2} -3x^{2} )\Rightarrow V'(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{R\sqrt{3} }{3} .\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn nhất là

\(V_{\max } =\frac{4\pi R^{3} \sqrt{3} }{9} \) khi \(x=\frac{R\sqrt{3} }{3} \). Khi đó \(h=2x=\frac{2R\sqrt{3} }{3} .\)