Cho mặt cầu (S) có bán kính 2√3 . Trong tất cả các khối trụ nội tiếp mặt cầu (S) (hai đáy của khối trụ...

Question

Cho mặt cầu \(\left(S\right)\) có bán kính \(2\sqrt{3}\) . Trong tất cả các khối trụ nội tiếp mặt cầu \(\left(S\right)\) (hai đáy của khối trụ là những thiết diện của hình cầu cắt bởi hai mặt phẳng song song), khối trụ có thể tích lớn nhất bằng.

\(A. 15\pi \sqrt{3} . \)

\(B. 32\pi . \)

\(C. 30\pi . \)

\(D. \frac{32\pi \sqrt{3} }{3} .\)

Answer 1

Chọn B

Gọi bán kính mặt cầu là R và chiều cao của khối trụ là \(h=2x>0.\)

Suy ra bán kính đáy trụ là \(r=\sqrt{R^{2} -x^{2} } \).

Thể tích khối trụ là \(V=\pi r^{2} h=2\pi \left(R^{2} -x^{2} \right)x\)

Theo BĐT Cauchy ta có

\(V^{2} =2\pi ^{2} \left(R^{2} -x^{2} \right)^{2} .2x^{2} \le 2\pi ^{2} \left(\frac{2\left(R^{2} -x^{2} \right)+2x^{2} }{3} \right)^{3} =\frac{16\pi ^{2} R^{6} }{27} \)

Suy ra \(V\le \frac{4\pi R^{3} \sqrt{3} }{9}\) .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(R^{2} -x^{2} =2x^{2} \Leftrightarrow x=\frac{R}{\sqrt{3} } \)

Vậy \(\max V=\frac{4\pi R^{3} \sqrt{3} }{9}\) .Với \(R=2\sqrt{3}\) thì \( \max V=32\pi .\)