Cho z là số phức có phần thực lớn hơn 1 và thoả mãn |z+1+i|=|2z+z-5-3i|, đồng thời |z-2-2i| đạt giá trị nhỏ nhất....

Question

Cho z là số phức có phần thực lớn hơn 1 và   thoả mãn  \( \left|z+1+i\right|=\left|2z+\overline{z}-5-3i\right|\), đồng thời \(\left|z-2-2i\right| \) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó phần thực của số phức z nói trên bằng

\(A. \frac{8+\sqrt{2} }{4} . \)

\(B. \frac{3+\sqrt{6} }{2} . \)

\(C. \frac{8+\sqrt{7} }{4}  . \)

\(D. \frac{4+\sqrt{6} }{2} .\)

Answer 1

Chọn D

Đặt \(z=x+yi\, \, \left(x>1\right).\)

Ta có
\( \left|z+1+i\right|=\left|2z+\overline{z}-5-3i\right|\)

\(\Leftrightarrow \left|x+yi+1+i\right|=\left|2\left(x+yi\right)+x-yi-5-3i\right|\)

\(\Leftrightarrow \left(x+1\right)^{2} +\left(y+1\right)^{2} =\left(3x-5\right)^{2} +\left(y-3\right)^{2} \)

\(\Leftrightarrow y=\left(x-2\right)^{2} \)
Khi đó

\(\left|z-2-2i\right|^{2} =\left(x-2\right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} =t+\left(t-2\right)^{2} =t^{2} -3t+4 \)

với \(t=\left(x-2\right)^{2} \ge 0\)
\(g(t)=t^{2} -3t+4=\left(t-\frac{3}{2} \right)^{2} +\frac{7}{4} \ge \frac{7}{4} \, \, \forall t \)
Dấu bằng xảy ra khi

\(t=\frac{3}{2} \Leftrightarrow \left(x-2\right)^{2} =\frac{3}{2} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=\frac{4+\sqrt{6} }{2} \left(t/m\right)} \\ {x=\frac{4-\sqrt{6} }{2} \left(loai\right)} \end{array}\right. .\)

Kết luận phần thực của số phức cần tìm là \(x=\frac{4+\sqrt{6} }{2} .\)