Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y=(m^2-1)x^4-2mx^2 đồng biến trên khoảng...

Question

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=\left(m^{2} -1\right)x^{4} -2mx^{2}\)  đồng biến trên khoảng \(\left(1;+\infty \right).\)

A. \(m\le -1\) hoặc \(m>1.\)  

B. \(m\le -1\) hoặc \(m\ge \frac{1+\sqrt{5} }{2} .\)

C. \(m\le -1.  \)

D. \(m=-1\) hoặc \(m>\frac{1+\sqrt{5} }{2} .\)

Answer 1

Chọn B
\(y'=4\left(m^{2} -1\right)x^{3} -4mx=4x\left[\left(m^{2} -1\right)x^{2} -m\right].\)
Hàm số đồng biến trên \(\left(1;+\infty \right)\)

\(\Leftrightarrow y'\ge 0, \forall x\ge 1.\)
\(\Leftrightarrow \left(m^{2} -1\right)x^{2} -m\ge 0, \forall x\ge 1.  (1) \)
Nếu m=1 thì \((1)\) sai.

Nếu m=-1 thì \((1)\) đúng \(\forall x\in {\rm R}.\)

Nếu \(m\ne \pm 1\)

 TH1:\( \left\{\begin{array}{l} {m^{2} -1>0} \\ {-m>0} \end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow m<-1\) thì \((1)\) đúng.

 TH2: \(\left\{\begin{array}{l} {m^{2} -1>0} \\ {-m<0} \end{array}\right.\) \(\Rightarrow \left(m^{2} -1\right)x^{2} -m\ge 0\)

\(\Leftrightarrow x\in \left(-\infty ;x_{1} \right]\cup \left[x_{2} ;+\infty \right)\)

  \(Ycbt\Leftrightarrow x_{1} \le x_{2} \le 1\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {\left(m^{2} -1\right).1-m\ge 0} \\ {\frac{S}{2} \le 1} \end{array}\right. \)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {m\ge \frac{1+\sqrt{5} }{2} } \\ {m\le \frac{1-\sqrt{5} }{2} {\rm \; (loại)}} \end{array}\right. \)

Vậy \(m\le -1\) hoặc \(m\ge \frac{1+\sqrt{5} }{2} .\)