Chọn D
y'=3x^{2} +4mx-1.
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(\frac{1}{2} ;5\right)\)
\(\Leftrightarrow y'\le 0,\forall x\in \left(\frac{1}{2} ;5\right)
\)
\(\Leftrightarrow 3x^{2} +4mx-1\le 0,\forall x\in \left(\frac{1}{2} ;5\right). \)
\(\Leftrightarrow m\le \frac{-3x^{2} +1}{4x} , \forall x\in \left(\frac{1}{2} ;5\right) \left(*\right) \)
Đặt \(g\left(x\right)=\frac{-3x^{2} +1}{4x} \)
Do \(g\left(x\right)\) liên tục tại \(x=\frac{1}{2} ,x=5\)
nên \(\left(*\right)\Leftrightarrow m\le {\mathop{\min }\limits_{\left[\frac{1}{2} ;5\right]}} g\left(x\right) .\)
Ta có \(g'\left(x\right)=-\frac{3x^{2} +1}{4x^{2} } <0,\forall x\in \left[\frac{1}{2} ;5\right] \)
Suy ra \({\mathop{\min }\limits_{\left[\frac{1}{2} ;5\right]}} g\left(x\right)=g\left(5\right)=-\frac{37}{10} . \)
Vậy giá trị m cần tìm là \(m\le -\frac{37}{10} .\)