Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y=m-1/3 x^3 +mx^2+(3m-2)x đồng biến trên...

Question

Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=\frac{m-1}{3} x^{3} +mx^{2} +\left(3m-2\right)x\) đồng biến trên \(\left(-\infty ;+\infty \right).\)

\(A. \left(-\infty ;\frac{1}{2} \right]\cup \left[2;+\infty \right).  \)

\(B. \left[2;+\infty \right). \)

\(C. \left(-\infty ;\frac{1}{2} \right]\cup \left[2;+\infty \right)\cup \left\{1\right\}. \)

\(D. \left[\frac{1}{2} ;2\right]\backslash \left\{1\right\}.\)

Answer 1

Chọn B

Ta có \(y'=\left(m-1\right)x^{2} +2mx+3m-2.\)

 Xét khi m=1 ta có \(y'=2x+1\) nên hàm số đã cho không

là hàm đồng biến trên \(\left(-\infty ;+\infty \right)\Rightarrow m=1\) không thỏa mãn.

Xét khi \(m\ne 1\), ta có hàm số đồng biến trên \(\left(-\infty ;+\infty \right) \)
\(\Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in {\rm R}\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {m>1} \\ {\Delta '\le 0} \end{array}\right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {m>1} \\ {-2m^{2} +5m-2\le 0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {m>1} \\ {\left[\begin{array}{c} {m\le \frac{1}{2} } \\ {m\ge 2} \end{array}\right. } \end{array}\right. \Leftrightarrow m\ge 2 \)
Vậy \(m\ge 2.\)