Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y=x^4-2(m-1)x^2+m-2 đồng biến trên khoảng...

Question

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số \(y=x^{4} -2\left(m-1\right)x^{2} +m-2\) đồng biến trên khoảng \(\left(1;3\right).\)

 \(A. m\in \left(-\infty ;-5\right). \)

\(B. m\in \left(2;+\infty \right). \)

\(C. m\in \left[-5;2\right). \)

\(D. m\in \left(-\infty ;2\right].\)

Answer 1

Hàm số \(y=x^{4} -2\left(m-1\right)x^{2} +m-2\)

có tập xác định \(D={\rm R}.\)
\(y=x^{4} -2\left(m-1\right)x^{2} +m-2\Rightarrow y'=4x^{3} -4\left(m-1\right)x. \)

 Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(1;3\right)\)
\(\Leftrightarrow y'\ge 0,{\rm \; }\forall x\in \left(1;3\right) \)
\(\Leftrightarrow 4x^{3} -4\left(m-1\right)x\ge 0,{\rm \; }\forall x\in \left(1;3\right) \)
\(\Leftrightarrow x^{2} -\left(m-1\right)\ge 0,{\rm \; }\forall x\in \left(1;3\right)\Leftrightarrow {\rm \; \; }m\le x^{2} +1,{\rm \; }\forall x\in \left(1;3\right). \)

 Hàm số \(h\left(x\right)=x^{2} +1\) có tập giá trị trên \(\left(1;3\right)\) là \(\left(2;10\right).\)

 Vậy \(m\le x^{2} +1,{\rm \; }\forall x\in \left(1;3\right)\Leftrightarrow m\le 2.\)

 Vậy \(m\in \left(-\infty ;2\right].\)