Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số y=m/3 x^3-2mx^2+(3m+6)x+2020 đồng biến...

Question

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số \(y=\frac{m}{3} x^{3} -2mx^{2} +\left(3m+6\right)x+2020\) đồng biến trên \({\rm R}\)?

A. 6.

B. Vô số.

C. 5.

D.7.

Answer 1

Chọn D

Ta có \(y'=mx^{2} -4mx+3m+6.\)

TH1: Nếu \(m=0\Rightarrow y'=6>0,\forall x\in {\rm R}\)

\(\Rightarrow \) hàm số đồng biến trên \({\rm R}\) 

nên m=0 thỏa mãn.

TH2: Nếu \(m\ne 0\), hàm số đã cho đồng biến trên \({\rm R}\)
\(\Leftrightarrow y'\ge 0,\, \, \forall x\in {\rm R}\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {m>0} \\ {\Delta '\le 0} \end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {m>0} \\ {\left(2m\right)^{2} -m\left(3m+6\right)\le 0} \end{array}\right.  \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {m>0} \\ {m^{2} -6m\le 0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {m>0} \\ {0\le m\le 6} \end{array}\right. \)

\(\Leftrightarrow 0<m\le 6\), mà \(m\in {\rm Z}\Rightarrow m\in \left\{1;2;3;4;5;6\right\}\)

Từ hai trường hợp trên ta được \(m\in \left\{0;1;2;3;4;5;6\right\}.\)