Cho z1 ,z2 ∈ C, thỏa |z1-2-5i|=3, |z2+1+2i|=|z2+i|. Giá trị nhỏ nhất của P=|z1-z2+1-3i| là

Question

Cho \(z_{1} ,z_{2} \in {\rm C}\), thỏa \(\left|z_{1} -2-5i\right|=3,{\it \; \; }\left|z_{2} +1+2i\right|=\left|z_{2} +i\right|\). Giá trị nhỏ nhất của \(P=\left|z_{1} -z_{2} +1-3i\right|\) là

\(A. \frac{5\sqrt{2} -6}{2} \) .

\(B. \frac{7\sqrt{2} -6}{2}\) .

\(C. \frac{5\sqrt{2} +6}{2}\) .

\(D. \frac{7\sqrt{2} +6}{2} .\)

Answer 1

Chọn B

Gọi M là điểm biểu diễn của số phức \({\rm w}=z_{1} +1-3i.\)

Gọi N là điểm biểu diễn của số phức \(z_{2} .\)

Như vậy

\(P=\left|z_{1} -z_{2} +1-3i\right|=\left|\left(z_{1} +1-3i\right)-z_{2} \right|\)

\(=\left|{\rm w}-z_{2} \right|=MN.\)

Theo giả thiết

\(\left|{\it z}_{{\it 1}} {\it -2-5i}\right|{\it =3}\Leftrightarrow \left|\left({\it z}_{{\it 1}} +1-3i\right){\it -3-2i}\right|{\it =3}\)

\(\Leftrightarrow \left|{\it w-3-2i}\right|{\it =3}.\)

Do đó tập hợp các điểm M là

đường tròn tâm \(I\left(3;2\right),R=3.\)

Giả sử \( z_{2} =x+yi{\it \; }\left(x,y\in {\rm R}\right), có \left|{\it z}_{{\it 2}} {\it +1+2i}\right|{\it =}\left|{\it z}_{{\it 2}} {\it +i}\right|\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{\left(x+1\right)^{2} +\left(y+2\right)^{2} } =\sqrt{x^{2} +\left(y+1\right)^{2} } \Leftrightarrow x+y+2=0.\)

Do đó tập hợp các điểm N là đường thẳng \(\Delta :x+y+2=0.\)

Để giá trị biểu thức P nhỏ nhất khi MN nhỏ nhất

\(\Leftrightarrow MN=d\left(I;\Delta \right)-R=\frac{7\sqrt{2} }{2} -3=\frac{7\sqrt{2} -6}{2} .\)