Cho hai số phức u,v thỏa mãn 3|u-6i|+3|u-1-3i|=5√10 ,|v-1+2i|=|v+i|.Giá trị nhỏ nhất của |u-v| là

Question

Cho hai số phức \(u,\, \, v\) thỏa mãn \(3\left|u-6i\right|+3\left|u-1-3i\right|=5\sqrt{10} ,\left|v-1+2i\right|=\left|\overline{v}+i\right|\) . Giá trị nhỏ nhất của \(\left|u-v\right|\) là

\(A. \frac{4\sqrt{10} }{3} . \) 

\(B. \frac{\sqrt{10} }{3} . \) 

\(C. \sqrt{10} .\)  

\(D. \frac{2\sqrt{10} }{3} .\)

Answer 1

Chọn D

Giả sử \(u=x+iy\left(x,y\in {\rm R}\right),\, \, v=x'+iy'\left(x',y'\in {\rm R}\right) \)

Gọi \(M\left(x,y\right),\, \, A\left(0;6\right),\, \, B\left(1;3\right)\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left(1;-3\right);\, \, AB=\sqrt{10} . \)

Ta có \(3\left|u-6i\right|+3\left|u-1-3i\right|=5\sqrt{10} \)

\(\Leftrightarrow 3MA+3MB=5\sqrt{10}\)

\( \Leftrightarrow MA+MB=\frac{5\sqrt{10} }{3} >AB.\)

Suy ra M thuộc elip (E) có

\( 2a=\frac{5\sqrt{10} }{3} ,\, \, 2c=\sqrt{10} \Rightarrow a=\frac{5\sqrt{10} }{6} ,\, \, b=\frac{2\sqrt{10} }{3} ,\, \, c=\frac{\sqrt{10} }{2}  .\)

Giả sử \(N\left(x';\, y'\right) . \)

Vì \(\left|v-1+2i\right|=\left|\overline{v}+i\right|\Leftrightarrow -x'+3y'+2=0\)

Suy ra N thuộc đường thẳng \(\Delta :\, \, -x+3y+2=0 .\)
\(\Rightarrow \left|u-v\right|_{\min } \Leftrightarrow MN_{\min } \)
Có \(AB\bot \Delta \Rightarrow MN_{\min } \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {M=AB\cap (E)} \\ {MN\bot \Delta ,MN\cap \Delta \, =N} \end{array}\right.  .\)

Từ chỗ này chưa chính xác:

\(MN_{\min } \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {M=AB\cap (E)} \\ {MN\bot \Delta ,MN\cap \Delta \, =N} \end{array}\right. \)

 Lưu ý: \(M=AB\cap (E)\) sẽ có 2 điểm là

\(M{}_{1};M{}_{2}\Rightarrow \left|u-v\right|_{\min } \Leftrightarrow MN_{\min } =Min\left\{d(M_{1} ,\Delta );d(M_{2} ;\Delta )\right\}\)

\(\Rightarrow \left|u-v\right|_{\min } =MN=BN-BM\)

\(=d\left(B,\Delta \right)-\left(a-c\right)=\sqrt{10} -\frac{\sqrt{10} }{3} =\frac{2\sqrt{10} }{3} . \)