Cho số phức z=a+bi(a,b ∈ R) thỏa mãn |2z+2-3i|=1. Khi biểu thức 2|z+2|+|z-3| đạt giá trị lớn nhất thì a-b bằng

Question

Cho số phức \(z=a+bi\, \left(a,\, b\in {\rm R}\right)\) thỏa mãn \(\left|2z+2-3i\right|=1\). Khi biểu thức \(2\left|z+2\right|+\left|z-3\right|\) đạt giá trị lớn nhất thì a-b bằng

A. 3.

B. 2.

C. -3.

D. -2.

Answer 1

Chọn C

Gọi \(M\left(a;\, b\right),\, I\left(-1;\frac{3}{2} \right),\, A\left(-2;0\right),\, B\left(3;0\right) \)

và \( E\left(-1;\, 0\right):\, 4\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{0}.\)

Ta có \(\left|2z+2-3i\right|=1\Leftrightarrow \left|z-\left(-1+\frac{3}{2} i\right)\right|=\frac{1}{2} \Leftrightarrow M\in \left(I;\frac{1}{2} \right).\)
\(P=2\left|z+2\right|+\left|z-3\right|=2MA+MB.\)
\(P^{2} \le \left(1^{2} +1^{2} \right)\left(4MA^{2} +MB^{2} \right)\)

\(=2\left(5ME^{2} +4EA^{2} +EB^{2} \right)=10ME^{2} +\left(8EA^{2} +2EB^{2} \right). \)
Vì \(\left(8EA^{2} +2EB^{2} \right)\) không đổi nên P đạt giá trị lớn nhất thì ME

đạt giá trị lớn nhất \(\Leftrightarrow ME=IE+\frac{1}{2} \Leftrightarrow M\left(-1;2\right).\)

Khi đó \(2MA=MB\) đảm bảo dấu bằng có xảy ra.

Vậy \(\left\{\begin{array}{l} {a=-1} \\ {\, b=2} \end{array}\right. \Rightarrow a-b=-3.\)