Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn điều kiện |z-3-4i|=2 và |z1-z2|=1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức...

Question

Cho hai số phức \(z_{1} ,\, z_{2}\)  thỏa mãn điều kiện \(\left|z-3-4i\right|=2\) và \(\left|z_{1} -z_{2} \right|=1\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\left|z_{1}^{2} \right|-\left|z_{2}^{2} \right|\) bằng

\(A. -6-2\sqrt{5} . \)

\(B. -5. \)

\(C. -\sqrt{85} . \)

\(D. -10.\)

Answer 1

Chọn D

Gọi M,N là hai điểm biểu diễn cho hai số phức \(z_{1} ,\, z_{2}  \)

Theo giả thiết \(z_{1} ,\, z_{2}\)  thỏa mãn điều kiện \(\left|z-3-4i\right|=2\).

Suy ra M,N thuộc đường tròn tâm I(3;4), bán kính R=2

Mặt khác \(\left|z_{1} -z_{2} \right|=1\) nên MN=1

Ta có \(P=\left|z_{1}^{2} \right|-\left|z_{2}^{2} \right|=OM^{2} -ON^{2}  =\overrightarrow{OM}^{2} -\overrightarrow{ON}^{2}  \)
\(=\left(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IM}\right)^{2} -\left(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IN}\right)^{2}  \)
\(=2\overrightarrow{OI}.\overrightarrow{IM}-2\overrightarrow{OI}.\overrightarrow{IN} \)

 \(=2\overrightarrow{OI}.\overrightarrow{NM}\)
\(=2OI.NM.c{\rm os}\left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{NM}\right)\ge -2OI.NM=-10 \)
Dấu `'='' xảy ra khi và chỉ khi \(\overrightarrow{OI}\, ,\, \overrightarrow{NM}\)

ngược hướng hay \(\overrightarrow{OI}\, ,\, \overrightarrow{MN}\) cùng hướng.

Vậy \(P_{\min } =-10.\)