Cho z1, z2 là các số phức khác 0 thỏa mãn |z1|z1=9|z2|z2.Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z1 và z2...

Question

Cho \(z_{1} , z_{2}\)  là các số phức khác 0 thỏa mãn \(\left|z_{1} \right|z_{1} =9\left|z_{2} \right|z_{2}\) . Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn các số phức \(z_{1} \) và \(\bar{z}_{2}\) . Biết tam giác OMN có diện tích bằng 6, giá trị nhỏ nhất của \(\left|z_{1} +z_{2} \right|\) bằng

A. 8.

B. 6.

C. \(4\sqrt{2} . \)

D. \(3\sqrt{2} .\)

Answer 1

Chọn A

Từ giả thiết: \(\left|z_{1} \right|z_{1} =9\left|z_{2} \right|z_{2}  \left(1\right)\)

Lấy mođun hai vế ta được:

\(\left|z_{1} \right|^{2} =9\left|z_{2} \right|^{2} \Rightarrow \left|z_{1} \right|=3\left|z_{2} \right|.\)

Thay \(\left|z_{1} \right|=3\left|z_{2} \right|\)  vào \(\left(1\right)\) ta được \(z_{1} =3z_{2} .\)

Gọi \(z_{2} =a+bi \left(a,\, b\, \in {\rm R}\right)\Rightarrow z_{1} =3a+3bi, \bar{z}_{2} =a-bi.\)

Điểm \(M\left(3a\, ;\, 3b\right), N\left(a\, ;\, -b\right)\)

\(\Rightarrow S_{OMN} =\frac{1}{2} \left|-3ab-3ab\right|=3\left|a\right|\left|b\right|.\)

Mà \(S_{OMN} =6\) nên \(\left|a\right|\left|b\right|=2\) và

\(\left|z_{1} +z_{2} \right|=\left|4a+4bi\right|=4\sqrt{a^{2} +b^{2} } \ge 4\sqrt{2\left|a\right|\left|b\right|} =8.\)

Suy ra \(\min \left|z_{1} +z_{2} \right|=8.\)

Lưu ý công thức tính diện tích tam giác

OAB với \(\overrightarrow{OA}=\left(a_{1} ;\, a_{2} \right), \overrightarrow{OB}=\left(b_{1} ;\, b_{2} \right) \) là
\(S_{OAB} =\frac{1}{2} \left|a_{1} b_{2} -a_{2} b_{1} \right|. \)