Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1-2-2i|=1/2 và |z2-√3|+|z2+√3|=4. Số phức z có phần thực là a và...

Question

Cho hai số phức \(z_{1} ,\, z_{2}\)  thỏa mãn \(\left|z_{1} -2-2i\right|=\frac{1}{2} \) và \(\left|z_{2} -\sqrt{3} \right|+\left|z_{2} +\sqrt{3} \right|=4\). Số phức z có phần thực là a và phần ảo là b thỏa mãn \(a-b=4\). Giá trị nhỏ nhất của \(P=\left|z-2{\rm z}_{1} \right|+\left|z-z_{2} \right|\) bằng

\(A. P_{\min } =5 \)

\(B. P_{\min } =\frac{11}{2}  \)

\(C. P_{\min } =6. \)

\(D. P_{\min } =\frac{13}{2} .\)

Answer 1

Chọn C 

Gọi A là điểm biểu diễn của \(2z_{1} \) 

thì A thuộc đường tròn (C) tâm I(4;4) bán kính R=1

Gọi B là điểm biểu diễn của \(z_{2}\) thì B thuộc

elíp (E) có phương trình chính tắc 

\(\frac{x^{2} }{4} +\frac{y^{2} }{1} =1, \)trong đó \(F_{1} (-\sqrt{3} ;0),\, F_{2} (\sqrt{3} ;\, 0)\)

Gọi \(M(a;\, b)\) là điểm biểu diễn của z.

Khi đó, M thuộc đường thẳng d có phương trình x-y=4

Do đó P=MA+MB.

Đặt \(f(x,y)=x-y-4\) ta có

\(f(4,4)=4-4-4=-4<0, \)

\(f(\sqrt{3} ,0)=\sqrt{3} -0-4<0, \)

\(f(-\sqrt{3} ,\, 0)=-\sqrt{3} -0-4<0\)

nên các điểm \(I,\, F_{1} ,\, F_{2}\) nằm về cùng phía so với đường thẳng d.

Mặt khác d không cắt đường tròn (C) và elíp (E).

Suy ra điểm \(A,\, B\) nằm về cùng phía so với d. 

Ta có phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua I

và vuông với d là y=-x+8.

Suy ra, tọa độ giao điểm của d và \(\Delta\)  là \(J(2;\, 6). \)

Gọi I' đối xứng với I qua d thì \(I'=(0;\, 8). \)

Gọi A' đối xứng với A qua d thì A' thuộc đường

tròn tâm I' bán kính bằng 1.

Gọi \(K(0;\, 7),\, H(0;\, 1)\) lần lượt là giao điểm của

đường tròn \((I',\, 1)\) và (E) với trục tung. 

Gọi u,v lần lượt là tiếp tuyến của \((I',\, 1)\) và (E) tại K, H.

Gọi F, G lần lượt là giao điểm của đường thẳng A'B với \(u,\, v\).

Khi đó, ta có  

\(P=MA+MB=MA'+MB\ge A'B=A'F+FG+GB\ge HK=6.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{\begin{array}{l} {A'\equiv K} \\ {B\equiv H} \\ {M\equiv M_{0} (0;\, 4)} \end{array}\right. \)

Vậy \(P_{\min } =6\)