Question

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào SAI?

A. \(F\left(x\right)=1+\tan x \) là một nguyên hàm của hàm số\( f\left(x\right)=1+\tan ^{2} x. \)

B. \(\int \frac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)} {\rm d}x =\log \left|u\left(x\right)\right|+C. \)

C. Nếu \(F\left(x\right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)\) thì mọi nguyên hàm của \(f\left(x\right)\) đều có 

dạng \(F\left(x\right)+C\) (C là hằng số). 

D. \(F\left(x\right)=5-\cos x \) là một nguyên hàm của \(f\left(x\right)=\sin x.\)

Answer 1

Chọn B

Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=1+\tan ^{2} x\) là: \(\tan x+C\). Do đó với C=1, ta thấy đáp án A 

đúng.

Ta có  \(\int \frac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)} {\rm d}x =\ln \left|u\left(x\right)\right|+C.\) Do đó đáp án B là đáp án Sai.

Đáp án C đúng theo định nghĩa.

Họ nguyên hàm của \(f\left(x\right)=\sin x là -\cos x+C.\) Do đó với C=5 thì đáp án D đúng.

Đặt \( t={\rm e}^{x}  \Rightarrow {\rm d}t={\rm e}^{x} {\rm d}x.\)

Khi đó: \(\int \frac{{\rm e}^{x} {\rm d}x}{{\rm e}^{2x} -1}  =\int \frac{{\rm d}t}{t^{2} -1}  =\int \frac{{\rm d}t}{(t-1)(t+1)}  =\frac{1}{2} \ln \left|\frac{t-1}{t+1} \right|+C=\frac{1}{2} \ln \left|\frac{{\rm e}^{x} -1}{{\rm e}^{x} +1} \right|+C.\)